Cinematica in una dimensione - INFN Sezione di Catania
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<strong>C<strong>in</strong>ematica</strong> <strong>in</strong> <strong>una</strong> <strong><strong>di</strong>mensione</strong>: spostamento, velocità me<strong>di</strong>a e istantanea, moto rettil<strong>in</strong>eo uniforme<br />
Esercizi svolti a lezione<br />
1) Un’auto si muove avanti e <strong>in</strong><strong>di</strong>etro lungo <strong>una</strong> strada rettil<strong>in</strong>ea, occupando al variare del<br />
tempo le posizioni riportate <strong>in</strong> tabella<br />
T(s) X(m)<br />
A 0.0 30.0<br />
B 10.0 52.0<br />
C 20.0 38.0<br />
D 30.0 0.0<br />
E 40.0 -40.0<br />
F 50.0 -60.0<br />
Costruire il grafico posizione-tempo, valutare (a) lo spostamento e la velocità me<strong>di</strong>a <strong>in</strong><br />
ciascun <strong>in</strong>tervallo <strong>di</strong> tempo. (b) Calcolare, <strong>in</strong>f<strong>in</strong>e, la velocità me<strong>di</strong>a e la velocità scalare<br />
me<strong>di</strong>a fra le posizioni A-F.<br />
Soluzione:<br />
Disegnato un sistema <strong>di</strong> assi cartesiano, con asse delle ascisse il tempo e asse delle ord<strong>in</strong>ate la coord<strong>in</strong>ata<br />
x, si <strong>di</strong>segnano i punti A F e si costruisce la curva x(t), come <strong>in</strong> figura<br />
x (m)<br />
60<br />
40<br />
20<br />
0<br />
-20<br />
-40<br />
-60<br />
-80<br />
Grafico spazio-tempo<br />
0 10 20 30 40 50<br />
Dalla tabella si ricava<br />
xB - xA = 52.0 – 30.0 = 22.0 m vAB = (xB - xA)/(tB - tA) = 22.0/10.0 m/s = 2.2 m/s<br />
xC - xB = 38.0 – 52.0 = -14.0 m vBC = (xC – xB)/(tC – tB) = -14.0/10.0 m/s = -1.4 m/s<br />
xD – xC = 0.0 – 38.0 = -38.0 m vCD = (xD – xC)/(tD – tC) = -38.0/10.0 m/s = -3.8 m/s<br />
xE – xD = -40.0 – 0.0 = -40.0 m vDE = (xE – xD)/(tE – tD) = -40.0/10.0 m/s = -4.0 m/s<br />
t (s)
xF – xE = -60.0 – (-40.0) = -20.0 m vEF = (xF – xE)/(tF – tE) = -20.0/10.0 m/s = -2.0 m/s<br />
(b) Calcoliamo adesso la velocità me<strong>di</strong>a per l’<strong>in</strong>tero percorso.<br />
vAF = (xF - xA)/(tF - tA) = (-60.0 – 30.0)/( 50.0 – 0.0) = - 90.0/50.0 = -1.8 m/s<br />
L’auto percorre 90 metri nella <strong>di</strong>rezione negativa (verso s<strong>in</strong>istra) dalla partenza. La velocità me<strong>di</strong>a risulta<br />
qu<strong>in</strong><strong>di</strong> negativa.<br />
Calcoliamo, <strong>in</strong>f<strong>in</strong>e, la velocità scalare me<strong>di</strong>a. Occorre prima calcolare il percorso totale fatto dalla nostra<br />
auto.<br />
Spazio totale = 22.0 m + 52.0 m + 60.0 m = 134.0 m<br />
Velocità scalare me<strong>di</strong>a = spazio totale/tempo totale = 134.0/50.0 m/s = 2.7 m/s.<br />
Lo spazio totale così come la velocità scalare me<strong>di</strong>a sono per def<strong>in</strong>izione positivi.<br />
Osservate che <strong>in</strong> tutti i calcoli si è tenuto conto che la precisione con cui sono note le misure è del 10%<br />
(<strong>una</strong> cifra decimale). I calcoli sono stati approssimati tenendo conto <strong>di</strong> tale precisione.<br />
2) Un punto materiale si muove lungo l’asse x. La sua coord<strong>in</strong>ata x varia con il tempo<br />
secondo l’espressione x(t) = -6t + 3t 2 , <strong>in</strong> cui x è <strong>in</strong> m e t <strong>in</strong> s. Costruire il grafico<br />
posizione-tempo. (a) Si determ<strong>in</strong>i lo spostamento del punto materiale da t = 0 a t = 1 s e<br />
da t = 1 s a t= 3 s. (b) Si calcoli la velocità me<strong>di</strong>a <strong>in</strong> detti <strong>in</strong>tervalli <strong>di</strong> tempo. (c) Si trovi<br />
la velocità istantanea del punto materiale a t = 3.5 s.<br />
Soluzione<br />
Com<strong>in</strong>ciamo <strong>in</strong>nanzitutto a costruire il grafico spazio-tempo. Facciamo <strong>una</strong> tabella spazio tempo<br />
x (m)<br />
30<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
T(s) X(m)<br />
A 0.0 0.0<br />
B 1.0 -3.0<br />
C 2.0 0.0<br />
D 3.0 9.0<br />
E 4.0 24<br />
Grafico spazio-tempo<br />
0 1 2 3 4<br />
t (s)
Si noti che la particella <strong>in</strong>izialmente si muove nella <strong>di</strong>rezione x negativa per il primo secondo, si<br />
ferma a t = 1 s, e poi ritorna <strong>in</strong><strong>di</strong>etro nella <strong>di</strong>rezione x positiva per t > 1 s.<br />
(a) ∆x1 = (xB - xA) = -3.0 – 0.0 = -3.0 m<br />
∆x2 = (xD – xB) = 9.0 – (-3.0) = 12.0 m<br />
(b) v1 = (xB - xA)/( tB - tA) = -3.0/1.0 m/s = -3.0 m/s<br />
v2 = (xD – xB)/( tD – tB) = 12.0/2.0 m/s = 6.0 m/s<br />
(c) La velocità istantanea è def<strong>in</strong>ite coma la derivata dello spostamento rispetto al tempo<br />
r<br />
r dx<br />
v =<br />
dt<br />
deriviamo, qu<strong>in</strong><strong>di</strong>, la nostra espressione <strong>di</strong> x(t) rispetto al tempo<br />
x(t) = -6t + 3t 2<br />
v(t) = -6 + 6t<br />
Per calcolare il valore della velocità istantanea al tempo t = 3.5 s, occorre sostituire tale valore<br />
nella espressione <strong>di</strong> v(t)<br />
v(3.5) = -6 + 6(3.5) = -6 + 21 = 15 m/s.<br />
3) Due punti materiali si trovano nell’istante <strong>in</strong>iziale t = 0 sullo stesso asse x,<br />
rispettivamente nella posizione x1 con velocità v1 e nella posizione x2>x1 con velocità v2.<br />
Il moto dei punti è uniforme. Discutere quali sono le situazioni <strong>in</strong> cui i punti ad un certo<br />
istante si urtano e determ<strong>in</strong>are dove e quando si urtano.<br />
Soluzione<br />
Esistono tre <strong>di</strong>verse situazioni <strong>in</strong> cui i punti si <strong>in</strong>contrano<br />
a) v1>0, v2 0, v2>0, v1>v2 (entrambi i punti si muovono nel verso positivo, il primo punto che è più<br />
<strong>in</strong><strong>di</strong>etro deve muoversi più velocemente)<br />
x<br />
x2<br />
x1<br />
t<br />
t
c) v1< 0, v2|v1| (caso speculare rispetto al precedente)<br />
x<br />
x2<br />
x1<br />
Poiché il moto dei due punti è uniforme le leggi orarie sono rispettivamente<br />
x = x1 + v1 t<br />
x = x2 + v2 t<br />
per trovare l’istante <strong>in</strong> cui i due corpi si <strong>in</strong>contrano occorre fare sistema tra le due precedenti<br />
relazioni<br />
da cui risolvendo rispetto a t si ricava<br />
x1 + v1 t = x2 + v2 t<br />
t = (x2 – x1)/( v1 – v2)<br />
Sostituendo questa espressione del tempo <strong>in</strong> <strong>una</strong> qualunque delle due leggi orarie si trova la<br />
posizione nell’istante <strong>in</strong> cui si urtano:<br />
v1x2<br />
− v2x<br />
x =<br />
v − v<br />
1<br />
t<br />
2<br />
1
Esercizi proposti<br />
1) Facendo riferimento al problema precedente, valutare l’istante <strong>di</strong> <strong>in</strong>contro e la posizione<br />
per i seguenti tre casi numerici<br />
(a) v1 = 1.0 m/s v2 = -1.5 m/s<br />
(b) v1 = 1.5 m/s v2 = 0.25 m/s<br />
(c) v1 = -2.0 m/s v2 = -4.0 m/s<br />
assumendo sempre x1 = 1.0 m x2 = 3 m.<br />
2) Se scagliate <strong>una</strong> pall<strong>in</strong>a da tennis a <strong>una</strong> velocità <strong>di</strong> 160 km/h, quanto tempo essa impiega<br />
a raggiungere <strong>una</strong> <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> 18.4 m?<br />
3) Un’automobile viaggia su un rettil<strong>in</strong>eo per 40 km a 30 km/h e per altri 40 km a 60 km/h.<br />
(a) Qual è la velocità vettoriale me<strong>di</strong>a sull’<strong>in</strong>tero percorso <strong>di</strong> 80 km? (b) E la velocità<br />
scalare me<strong>di</strong>a? (c) Costruite il <strong>di</strong>agramma spazio-tempo e <strong>in</strong><strong>di</strong>cate come si determ<strong>in</strong>a sul<br />
grafico la velocità vettoriale me<strong>di</strong>a.<br />
4) Per andare da <strong>Catania</strong> ad Agrigento avete viaggiato, per metà del tempo a 55 km/h e<br />
per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della <strong>di</strong>stanza a 55 km/h e<br />
la metà rimanente a 90 km/h. Qual è la vostra velocità scalare me<strong>di</strong>a (a) all’andata, (b)<br />
al ritorno, e (c) per l’<strong>in</strong>tero percorso? (d) Qual è la velocità vettoriale me<strong>di</strong>a<br />
complessiva? (e) Tracciate il <strong>di</strong>agramma orario per il tratto (a), supponendo che lo<br />
spostamento sia tutto nel verso positivo delle x. In<strong>di</strong>cate come si trova graficamente la<br />
velocità vettoriale me<strong>di</strong>a.<br />
5) Calcolate la velocità me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> un atleta per questi due casi: (a) marcia per 75.0 m a 1.25<br />
m/s e poi corsa per altri 75.0 m a 3.25 m/s e (b) marcia per 1 m<strong>in</strong>uto a 1.25 m/s e poi<br />
corsa per 1 m<strong>in</strong>uto a 3.25 m/s, sempre su un rettil<strong>in</strong>eo. (c) Tracciate la curva x(t) per i<br />
due casi e <strong>in</strong><strong>di</strong>cate come si trovano le velocità vettoriali me<strong>di</strong>e.<br />
6) La posizione <strong>di</strong> un oggetto che si muove <strong>in</strong> l<strong>in</strong>ea retta è data dall’espressione<br />
x(t) = 3t-4t 2 +t 3 , ove x è <strong>in</strong> metri e t <strong>in</strong> secon<strong>di</strong>. (a) Qual è la sua posizione per<br />
t=1s,2s,3s,4s? (b) Qual è lo spostamento dell’oggetto nell’<strong>in</strong>tervallo <strong>di</strong> tempo tra t=0 s e<br />
t=4 s? (c) Qual è la velocità vettoriale me<strong>di</strong>a nell’<strong>in</strong>tervallo tra t = 2 s e t = 4s? (d)<br />
Tracciate la curva x(t) per 0 ≤ t ≤ 4 e costruite sul grafico la risposta al quesito (c).<br />
7) La velocità me<strong>di</strong>a e la velocità istantanea generalmente sono quantità <strong>di</strong>verse. Possono<br />
essere uguali per un tipo specifico <strong>di</strong> moto? Si spieghi.
8) Se la velocità me<strong>di</strong>a è <strong>di</strong>versa da zero per un <strong>in</strong>tervallo <strong>di</strong> tempo ∆t, questo significa che<br />
la velocità istantanea è sempre <strong>di</strong>versa da zero durante ∆t? Si spieghi e si faccia<br />
qualche esempio.<br />
9) Un ghepardo corre per 35 m<strong>in</strong>uti <strong>in</strong> <strong>di</strong>rezione est ad <strong>una</strong> velocità <strong>di</strong> 85 km/h. Stanco<br />
decide <strong>di</strong> riposarsi e si ferma per 15 m<strong>in</strong>uti, dopo<strong>di</strong>ché riprende a correre per 2 ore,<br />
sempre <strong>in</strong> <strong>di</strong>rezione est, ad <strong>una</strong> velocità <strong>di</strong> 130 km/h. (a) Qual è la <strong>di</strong>stanza totale<br />
percorsa? (b) Qual è la velocità me<strong>di</strong>a nell’<strong>in</strong>tero percorso?<br />
10) Il <strong>di</strong>agramma orario <strong>di</strong> un punto materiale è mostrato <strong>in</strong> figura:<br />
x (m)<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
-5<br />
-10<br />
0 2 4 6 8 10<br />
t (s)<br />
Si trovi la velocità me<strong>di</strong>a negli <strong>in</strong>tervalli <strong>di</strong> tempo (a) da 0 a 2 s, (b) da 0 a 4 s, (c) da 2 a<br />
4 s, (d) da 4 a 7 s, (e) da 0 a 8s.<br />
11) Una persona camm<strong>in</strong>a a velocità costante <strong>di</strong> 10.0 m/s lungo <strong>una</strong> strada rettil<strong>in</strong>ea dal<br />
punto A al punto B, poi torna <strong>in</strong><strong>di</strong>etro lungo la stessa strada dal punto B al punto A<br />
sempre a velocità costante <strong>di</strong> 4 m/s. Quali sono (a) il valor me<strong>di</strong>o del modulo della<br />
velocità sull’<strong>in</strong>tero percorso e (b) la sua velocità me<strong>di</strong>a sempre sull’<strong>in</strong>tero percorso?<br />
12) La posizione <strong>di</strong> <strong>una</strong> particella che si muove lungo l’asse x varia nel tempo con la legge<br />
x(t) = 5 t 2 -1, con t <strong>in</strong> secon<strong>di</strong> e x <strong>in</strong> metri.<br />
(a) Si calcoli la posizione della particella al tempo t = 0 s e al tempo t = 3 s. (b) Si calcoli<br />
la velocità me<strong>di</strong>a <strong>in</strong> detto <strong>in</strong>tervallo e (c) si calcoli la velocità istantanea a t = 1.5 s.<br />
13) (a) Se la posizione <strong>di</strong> <strong>una</strong> particella è data da y = 4 – 12 t + 3 t 2 (t <strong>in</strong> secon<strong>di</strong> e y <strong>in</strong><br />
metri), qual è la sua velocità per t = 1 s? (b) In quell’istante si sta spostando nel senso<br />
delle y crescenti o decrescenti? (c) Qual è la sua velocità istantanea? (d) In momenti<br />
successivi la velocità è maggiore o m<strong>in</strong>ore? (e) C’è un istante <strong>in</strong> cui la velocità è nulla (se<br />
sì quale?)? (f) Dopo il tempo t = 3s potrà accadere che la particella si muova nel verso<br />
negativo delle y? Spiegare.
14) Due treni viaggiano con velocità costanti uno verso l’altro su due b<strong>in</strong>ari paralleli. Ad un<br />
certo istante passano davanti a due stazioni che <strong>di</strong>stano d = 12 km e si <strong>in</strong>crociano dopo<br />
un tempo t = 6 m<strong>in</strong>uti. Si calcol<strong>in</strong>o le velocità dei due treni esprimendole <strong>in</strong> km/h e <strong>in</strong><br />
m/s.<br />
15) Che <strong>di</strong>stanza copre <strong>in</strong> 16 s il velocista <strong>di</strong> cui la figura mostra il grafico della velocità <strong>in</strong><br />
funzione del tempo?<br />
velocità (m/s)<br />
10<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
0<br />
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18<br />
t (s)