Cinematica in una dimensione - INFN Sezione di Catania

Cinematica in una dimensione: spostamento, velocità media e istantanea, moto rettilineo uniforme
Esercizi svolti a lezione
1) Un’auto si muove avanti e indietro lungo una strada rettilinea, occupando al variare del
tempo le posizioni riportate in tabella
T(s) X(m)
A 0.0 30.0
B 10.0 52.0
C 20.0 38.0
D 30.0 0.0
E 40.0 -40.0
F 50.0 -60.0
Costruire il grafico posizione-tempo, valutare (a) lo spostamento e la velocità media in
ciascun intervallo di tempo. (b) Calcolare, infine, la velocità media e la velocità scalare
media fra le posizioni A-F.
Soluzione:
Disegnato un sistema di assi cartesiano, con asse delle ascisse il tempo e asse delle ordinate la coordinata
x, si disegnano i punti A F e si costruisce la curva x(t), come in figura
x (m)
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
Grafico spazio-tempo
0 10 20 30 40 50
Dalla tabella si ricava
xB - xA = 52.0 – 30.0 = 22.0 m vAB = (xB - xA)/(tB - tA) = 22.0/10.0 m/s = 2.2 m/s
xC - xB = 38.0 – 52.0 = -14.0 m vBC = (xC – xB)/(tC – tB) = -14.0/10.0 m/s = -1.4 m/s
xD – xC = 0.0 – 38.0 = -38.0 m vCD = (xD – xC)/(tD – tC) = -38.0/10.0 m/s = -3.8 m/s
xE – xD = -40.0 – 0.0 = -40.0 m vDE = (xE – xD)/(tE – tD) = -40.0/10.0 m/s = -4.0 m/s
t (s)

xF – xE = -60.0 – (-40.0) = -20.0 m vEF = (xF – xE)/(tF – tE) = -20.0/10.0 m/s = -2.0 m/s
(b) Calcoliamo adesso la velocità media per l’intero percorso.
vAF = (xF - xA)/(tF - tA) = (-60.0 – 30.0)/( 50.0 – 0.0) = - 90.0/50.0 = -1.8 m/s
L’auto percorre 90 metri nella direzione negativa (verso sinistra) dalla partenza. La velocità media risulta
quindi negativa.
Calcoliamo, infine, la velocità scalare media. Occorre prima calcolare il percorso totale fatto dalla nostra
auto.
Spazio totale = 22.0 m + 52.0 m + 60.0 m = 134.0 m
Velocità scalare media = spazio totale/tempo totale = 134.0/50.0 m/s = 2.7 m/s.
Lo spazio totale così come la velocità scalare media sono per definizione positivi.
Osservate che in tutti i calcoli si è tenuto conto che la precisione con cui sono note le misure è del 10%
(una cifra decimale). I calcoli sono stati approssimati tenendo conto di tale precisione.
2) Un punto materiale si muove lungo l’asse x. La sua coordinata x varia con il tempo
secondo l’espressione x(t) = -6t + 3t 2 , in cui x è in m e t in s. Costruire il grafico
posizione-tempo. (a) Si determini lo spostamento del punto materiale da t = 0 a t = 1 s e
da t = 1 s a t= 3 s. (b) Si calcoli la velocità media in detti intervalli di tempo. (c) Si trovi
la velocità istantanea del punto materiale a t = 3.5 s.
Soluzione
Cominciamo innanzitutto a costruire il grafico spazio-tempo. Facciamo una tabella spazio tempo
x (m)
30
25
20
15
10
5
0
-5
T(s) X(m)
A 0.0 0.0
B 1.0 -3.0
C 2.0 0.0
D 3.0 9.0
E 4.0 24
Grafico spazio-tempo
0 1 2 3 4
t (s)

Si noti che la particella inizialmente si muove nella direzione x negativa per il primo secondo, si
ferma a t = 1 s, e poi ritorna indietro nella direzione x positiva per t > 1 s.
(a) ∆x1 = (xB - xA) = -3.0 – 0.0 = -3.0 m
∆x2 = (xD – xB) = 9.0 – (-3.0) = 12.0 m
(b) v1 = (xB - xA)/( tB - tA) = -3.0/1.0 m/s = -3.0 m/s
v2 = (xD – xB)/( tD – tB) = 12.0/2.0 m/s = 6.0 m/s
(c) La velocità istantanea è definite coma la derivata dello spostamento rispetto al tempo
r
r dx
v =
dt
deriviamo, quindi, la nostra espressione di x(t) rispetto al tempo
x(t) = -6t + 3t 2
v(t) = -6 + 6t
Per calcolare il valore della velocità istantanea al tempo t = 3.5 s, occorre sostituire tale valore
nella espressione di v(t)
v(3.5) = -6 + 6(3.5) = -6 + 21 = 15 m/s.
3) Due punti materiali si trovano nell’istante iniziale t = 0 sullo stesso asse x,
rispettivamente nella posizione x1 con velocità v1 e nella posizione x2>x1 con velocità v2.
Il moto dei punti è uniforme. Discutere quali sono le situazioni in cui i punti ad un certo
istante si urtano e determinare dove e quando si urtano.
Soluzione
Esistono tre diverse situazioni in cui i punti si incontrano
a) v1>0, v2 0, v2>0, v1>v2 (entrambi i punti si muovono nel verso positivo, il primo punto che è più
indietro deve muoversi più velocemente)
x
x2
x1
t
t

c) v1< 0, v2|v1| (caso speculare rispetto al precedente)
x
x2
x1
Poiché il moto dei due punti è uniforme le leggi orarie sono rispettivamente
x = x1 + v1 t
x = x2 + v2 t
per trovare l’istante in cui i due corpi si incontrano occorre fare sistema tra le due precedenti
relazioni
da cui risolvendo rispetto a t si ricava
x1 + v1 t = x2 + v2 t
t = (x2 – x1)/( v1 – v2)
Sostituendo questa espressione del tempo in una qualunque delle due leggi orarie si trova la
posizione nell’istante in cui si urtano:
v1x2
− v2x
x =
v − v
1
t
2
1

Esercizi proposti
1) Facendo riferimento al problema precedente, valutare l’istante di incontro e la posizione
per i seguenti tre casi numerici
(a) v1 = 1.0 m/s v2 = -1.5 m/s
(b) v1 = 1.5 m/s v2 = 0.25 m/s
(c) v1 = -2.0 m/s v2 = -4.0 m/s
assumendo sempre x1 = 1.0 m x2 = 3 m.
2) Se scagliate una pallina da tennis a una velocità di 160 km/h, quanto tempo essa impiega
a raggiungere una distanza di 18.4 m?
3) Un’automobile viaggia su un rettilineo per 40 km a 30 km/h e per altri 40 km a 60 km/h.
(a) Qual è la velocità vettoriale media sull’intero percorso di 80 km? (b) E la velocità
scalare media? (c) Costruite il diagramma spazio-tempo e indicate come si determina sul
grafico la velocità vettoriale media.
4) Per andare da Catania ad Agrigento avete viaggiato, per metà del tempo a 55 km/h e
per il tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete metà della distanza a 55 km/h e
la metà rimanente a 90 km/h. Qual è la vostra velocità scalare media (a) all’andata, (b)
al ritorno, e (c) per l’intero percorso? (d) Qual è la velocità vettoriale media
complessiva? (e) Tracciate il diagramma orario per il tratto (a), supponendo che lo
spostamento sia tutto nel verso positivo delle x. Indicate come si trova graficamente la
velocità vettoriale media.
5) Calcolate la velocità media di un atleta per questi due casi: (a) marcia per 75.0 m a 1.25
m/s e poi corsa per altri 75.0 m a 3.25 m/s e (b) marcia per 1 minuto a 1.25 m/s e poi
corsa per 1 minuto a 3.25 m/s, sempre su un rettilineo. (c) Tracciate la curva x(t) per i
due casi e indicate come si trovano le velocità vettoriali medie.
6) La posizione di un oggetto che si muove in linea retta è data dall’espressione
x(t) = 3t-4t 2 +t 3 , ove x è in metri e t in secondi. (a) Qual è la sua posizione per
t=1s,2s,3s,4s? (b) Qual è lo spostamento dell’oggetto nell’intervallo di tempo tra t=0 s e
t=4 s? (c) Qual è la velocità vettoriale media nell’intervallo tra t = 2 s e t = 4s? (d)
Tracciate la curva x(t) per 0 ≤ t ≤ 4 e costruite sul grafico la risposta al quesito (c).
7) La velocità media e la velocità istantanea generalmente sono quantità diverse. Possono
essere uguali per un tipo specifico di moto? Si spieghi.

8) Se la velocità media è diversa da zero per un intervallo di tempo ∆t, questo significa che
la velocità istantanea è sempre diversa da zero durante ∆t? Si spieghi e si faccia
qualche esempio.
9) Un ghepardo corre per 35 minuti in direzione est ad una velocità di 85 km/h. Stanco
decide di riposarsi e si ferma per 15 minuti, dopodiché riprende a correre per 2 ore,
sempre in direzione est, ad una velocità di 130 km/h. (a) Qual è la distanza totale
percorsa? (b) Qual è la velocità media nell’intero percorso?
10) Il diagramma orario di un punto materiale è mostrato in figura:
x (m)
15
10
5
0
-5
-10
0 2 4 6 8 10
t (s)
Si trovi la velocità media negli intervalli di tempo (a) da 0 a 2 s, (b) da 0 a 4 s, (c) da 2 a
4 s, (d) da 4 a 7 s, (e) da 0 a 8s.
11) Una persona cammina a velocità costante di 10.0 m/s lungo una strada rettilinea dal
punto A al punto B, poi torna indietro lungo la stessa strada dal punto B al punto A
sempre a velocità costante di 4 m/s. Quali sono (a) il valor medio del modulo della
velocità sull’intero percorso e (b) la sua velocità media sempre sull’intero percorso?
12) La posizione di una particella che si muove lungo l’asse x varia nel tempo con la legge
x(t) = 5 t 2 -1, con t in secondi e x in metri.
(a) Si calcoli la posizione della particella al tempo t = 0 s e al tempo t = 3 s. (b) Si calcoli
la velocità media in detto intervallo e (c) si calcoli la velocità istantanea a t = 1.5 s.
13) (a) Se la posizione di una particella è data da y = 4 – 12 t + 3 t 2 (t in secondi e y in
metri), qual è la sua velocità per t = 1 s? (b) In quell’istante si sta spostando nel senso
delle y crescenti o decrescenti? (c) Qual è la sua velocità istantanea? (d) In momenti
successivi la velocità è maggiore o minore? (e) C’è un istante in cui la velocità è nulla (se
sì quale?)? (f) Dopo il tempo t = 3s potrà accadere che la particella si muova nel verso
negativo delle y? Spiegare.

14) Due treni viaggiano con velocità costanti uno verso l’altro su due binari paralleli. Ad un
certo istante passano davanti a due stazioni che distano d = 12 km e si incrociano dopo
un tempo t = 6 minuti. Si calcolino le velocità dei due treni esprimendole in km/h e in
m/s.
15) Che distanza copre in 16 s il velocista di cui la figura mostra il grafico della velocità in
funzione del tempo?
velocità (m/s)
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t (s)