Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi
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8 18.3. RANGO DI MATRICI<br />
Eguagliando le componenti j–esime al primo ed al secondo membro <strong>di</strong> tali equazioni,<br />
otteniamo<br />
⎧<br />
ai,j = ai,j i = 1, . . . , r<br />
⎪⎨ ar+1,j = αr+1,1a1,j + αr+1,2a2,j + αr+1,3a3,j + · · · + αr+1,rar,j<br />
Posto<br />
⎪⎩<br />
.<br />
am,j = αm,1a1,j + αm,2a2,j + αm,3a3,j + · · · + αm,rar,j.<br />
u1 = (1, 0, 0, . . . , 0, αr+1,1, . . . , αm,1),<br />
u2 = (0, 1, 0, . . . , 0, αr+1,2, . . . , αm,2),<br />
u3 = (0, 0, 1, . . . , 0, αr+1,3, . . . , αm,3),<br />
.<br />
ur = (0, 0, 0, . . . , r, αr+1,r, . . . , αm,r)<br />
segue allora che wj = a1,ju1 + a2,ju2 + a3,ju3 + · · · + ar,jur, cioè L(w1, . . . , wn) ⊆<br />
L(u1, . . . , ur), dunque rk( t A) = <strong>di</strong>mk(L(w1, . . . , wn)) ⊆ <strong>di</strong>mk(L(u1, . . . , ur)) ≤ r = rk(A).<br />
Sostituendo ora A con t A e ripetendo il ragionamento <strong>di</strong> cui sopra otteniamo anche che<br />
rk(A) = rk( tt A) ≤ rk( t A) sicché, in conclusione, risulta rk(A) = rk t A) e, perciò, la tesi<br />
risulta completamente <strong>di</strong>mostrata. �<br />
Quasi sempre la definizione <strong>di</strong> rango <strong>di</strong> una matrice viene data utilizzando la proprietà<br />
sopra, che non <strong>di</strong>pende dalla riduzione operata, <strong>di</strong>cendo che il rango <strong>di</strong> A ∈ k m,n è la<br />
<strong>di</strong>mensione del suo <strong>spazio</strong> riga, cioè del sotto<strong>spazio</strong> <strong>di</strong> k n generato dalle sue righe, e del<br />
suo <strong>spazio</strong> colonna, cioè del sotto<strong>spazio</strong> <strong>di</strong> k m generato dalle sue colonne.<br />
Poiché tale <strong>di</strong>mensione si calcola a partire da una base dello <strong>spazio</strong> riga, cioè da un<br />
insieme massimale <strong>di</strong> vettori linearmente in<strong>di</strong>pendenti dello <strong>spazio</strong> riga, talvolta si <strong>di</strong>ce che<br />
il rango <strong>di</strong> A ∈ k m,n è il massimo numero <strong>di</strong> sue righe o colonne linearmente in<strong>di</strong>pendenti.<br />
Vogliamo ora utilizzare la proposizione vista sopra per descrivere un altro metodo per<br />
determinare basi <strong>di</strong> <strong>uno</strong> <strong>spazio</strong> <strong>vettoriale</strong> su k = R, C finitamente generato V , a partire da<br />
un suo insieme <strong>di</strong> generatori o <strong>di</strong> suoi vettori linearmente in<strong>di</strong>pendenti.<br />
A tale scopo fissiamo una base B = (w1, . . . , wn) <strong>di</strong> V e siano v1, . . . , vm ∈ V . Supponiamo<br />
che [vi]B = (ai,1, . . . , ai,n) ∈ k n per i = 1, . . . , m. Allora v1, . . . , vm sono linearmente<br />
<strong>di</strong>pendenti se e solo se tali sono [v1]B, . . . , [vm]B ∈ k n , poiché<br />
[α1v1 + · · · + αmvm]B = α1[v1]B + · · · + αm[vm]B<br />
(si vedano le osservazioni dopo la definizione 18.2.3). Quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>mk(L(v1, . . . , vm)) coincide<br />
avente come riga i–esima le componenti del<br />
con il rango della matrice A = (ai,j) 1≤i≤m<br />
1≤j≤n<br />
vettore vi rispetto alla base B fissata.<br />
Illustriamo questa osservazione con un paio <strong>di</strong> esempi