Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi

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6 18.2. DIMENSIONE DI SOTTOSPAZI ovvero T Sn(k) = L(Ei,j | i, j = 1, . . . , n, i < j). Dunque, fissato un ordine, tali matrici formano una base di T Sn(k): in particolare dimk(T Sn) = n+(n−1)+(n−2)+· · ·+2+1 = n(n + 1)/2. Si considerino i sottoinsiemi di k n,n costituiti dalle matrici triangolari inferiori, strettamente triangolari superiori, strettamente triangolari inferiori, cioè rispettivamente T In(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i < j }, ST Sn(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i ≥ j }, ST In(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i ≤ j }. Anche ST Sn(k), T In(k) e ST In(k) sono sottospazi vettoriali di k n,n (Esercizio). Determinarne basi, verificando che dimk(T In) = n(n + 1)/2 e dimk(ST Sn) = dimk(ST In) = n(n − 1)/2. Esempio 18.2.6. Non sempre si è così fortunati che l’intersezione di una base dello spazio vettoriale V con il sottospazio W , dà una base di W , come nell’esempio precedente. Si consideri il sottoinsieme di k n,n costituito dalle matrici simmetriche, cioè Simn(k) = { A ∈ k n,n | t A = A }. Innanzi tutto osserviamo che Simn(k) è un sottospazio vettoriale di k n,n . Infatti 0n,n ∈ Simn(k). Se A, B ∈ Simn(k) ed λ ∈ k, per le proprietà che legano la trasposizione alla somma di matrici ed al prodotto di matrici per scalari, si ha A + B = t A + t B = t (A + B), λA = λ t A = t (λA), cioè A + B, λA ∈ Simn(k). Poiché k n,n è finitamente generato tale deve essere Simn(k), dunque ha senso calcolarne la dimensione. Restringiamoci al caso n = 2, k = R: tratteremo il caso generale più avanti. In questo caso sappiamo che una base di R 2,2 è data da B = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) (si veda l’Esempio 18.2.6). Da un lato osserviamo che non ogni matrice di R 2,2 è simmetrica, dunque dimR(Sim2(R)) ≤ 3 < 4 = dimR(R 2,2 ). Dall’altro le matrici di B che sono in Sim2(R) sono solo E1,1 ed E2,2, dunque dimR(Sim2(R)) ≥ 2. Se valesse l’uguaglianza per la Proposizione 18.1.7 seguirebbe che E1,1 ed E2,2 sarebbero generatori di dimR(Sim2(R)). Poiché � a1,1 a1,1E1,1 + a2,2E2,2 = 0 � 0 a2,2 è chiaro che E1,1 ed E2,2 non sono sufficienti a generare Sim2(R): concludiamo che dimR(Sim2(R)) ≥ 3 e, quindi, dimR(Sim2(R)) = 3. Per costruire una base di Sim2(R) è sufficiente trovare allora tre matrici simmetriche linearmente indipendenti: due, E1,1 ed E2,2, le abbiamo già, quindi basta determinare una terza matrice simmetrica che non sia in L(E1,1, E2,2), cioè che non sia diagonale. Posto allora E1,2 = � � 0 1 1 0
LEZIONE 18 7 segue che B ′ = (E1,1, E2,2, E1,2) è base di Sim2(R). Vedremo più avanti che dimk(Simn(k)) = dimk(T Sn(k)) = n(n + 1)/2. Si noti che Simn(k) �= T Sn(k) pur avendo essi la stessa dimensione, ovvero non è vero che due sottospazi della stessa dimensione coincidono. 18.3. Rango di matrici. Abbiamo già visto che verificare che certi vettori v1, . . . , vm ∈ V sono linearmente indipendenti è particolaramente facile se compaiono molti zeri fra le loro componenti (si veda l’Esempio 18.1.8). Questa osservazione è del tutto generale e si basa sulla seguente Proposizione 18.3.1. Sia k = R, C e sia data A = (ai,j) 1≤i≤m 1≤j≤n ∈ k m,n . Posto vi = (ai,1, . . . , ai,n) ∈ k n e wj = (a1,j, . . . , am,j) ∈ k m , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, risulta rk(A) = dimk(L(v1, . . . , vm)) = dimk(L(w1, . . . , wn)) = rk( t A). Dimostrazione. Ricordiamo che abbiamo definito il rango di una matrice A = (ai,j) 1≤i≤m 1≤j≤n km,n come il numero di righe non nulle di una matrice A ′ = (a ′ i,j ) 1≤i≤m 1≤j≤n ∈ ∈ k m,n ridotta per righe ed equivalente per righe ad A. Per dimostrare la prima parte della tesi è sufficiente osservare che ogni tipo di operazione elementare di riga, pur cambiando le righe di A, non muta il sottospazio che esse generano. Poiché esse coinvolgono al massimo due righe per volta, possiamo ridurci a studiare il caso m = 2. È chiaro che L(v1, v2, . . . ) = L(v2, v1, . . . ), cioè lo scambio di righe (operazione elementare E3) non muta la dimensione. Dovrebbe essere chiaro che v = α1v1 + α2v2 + . . . se e solo se per ogni λ ∈ k \ { 0 } si ha v = α1λ −1 (λv1)+α2v2+. . . . Quindi L(v1, v2, . . . ) = L(λv1, v2, . . . ), cioè la moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo (operazione elementare E2) non muta la dimensione. Infine v = α1v1 + α2v2 + . . . se e solo se per ogni λ ∈ k si ha v = α1(v1 + λv2) + (α2 − λα1)v2 + . . . . Quindi L(v1, v2, . . . ) = L(v1 + λv2, v2, . . . ), cioè sommare ad una riga un multiplo di un’altra (operazione elementare E1) non muta la dimensione. Posto v ′ i = (a′ i,1 , . . . , a′ i,n ) ∈ kn , i = 1, . . . , m, concludiamo che dimk(L(v1, . . . , vm)) = dimk(L(v ′ 1, . . . , v ′ m)) = rk(A ′ ) = rk(A). Poiché le righe di tA coincidono con le colonne di A, quanto visto sopra dimostra anche dimk(L(w1, . . . , wn)) = rk( tA). Sia r = rk(A) Allora è possibile estrarre dall’insieme v1, . . . , vm un sottoinsieme di r vettori linearmente indipendenti che generano L(v1, . . . , vm): per fissare le idee siano v1, . . . , vr. Allora abbiamo delle relazioni della forma ⎧ vi = vi i = 1, . . . , r ⎪⎨ vr+1 = αr+1,1v1 + αr+1,2v2 + αr+1,3v3 + · · · + αr+1,rvr . ⎪⎩ . vm = αm,1v1 + αm,2v2 + αm,3v3 + · · · + αm,rvr.
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Page 3 and 4: LEZIONE 18 3 Proposizione 18.1.7. S
Page 5: LEZIONE 18 5 Le soluzioni del Siste
Page 9 and 10: LEZIONE 18 9 Esempio 18.3.2. In R 5
Page 11 and 12: LEZIONE 18 11 Per fare questo è su
Page 13 and 14: LEZIONE 18 13 quindi q1(x), q2(x),

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