Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi
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6 18.2. DIMENSIONE DI SOTTOSPAZI<br />
ovvero T Sn(k) = L(Ei,j | i, j = 1, . . . , n, i < j). Dunque, fissato un or<strong>di</strong>ne, tali matrici<br />
formano una base <strong>di</strong> T Sn(k): in particolare <strong>di</strong>mk(T Sn) = n+(n−1)+(n−2)+· · ·+2+1 =<br />
n(n + 1)/2.<br />
Si considerino i sottoinsiemi <strong>di</strong> k n,n costituiti dalle matrici triangolari inferiori, strettamente<br />
triangolari superiori, strettamente triangolari inferiori, cioè rispettivamente<br />
T In(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i < j },<br />
ST Sn(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i ≥ j },<br />
ST In(k) = { A = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ k n,n | ai,j = 0 se i ≤ j }.<br />
Anche ST Sn(k), T In(k) e ST In(k) sono <strong>sottospazi</strong> vettoriali <strong>di</strong> k n,n (Esercizio). Determinarne<br />
basi, verificando che <strong>di</strong>mk(T In) = n(n + 1)/2 e <strong>di</strong>mk(ST Sn) = <strong>di</strong>mk(ST In) =<br />
n(n − 1)/2.<br />
Esempio 18.2.6. Non sempre si è così fortunati che l’intersezione <strong>di</strong> una base dello <strong>spazio</strong><br />
<strong>vettoriale</strong> V con il sotto<strong>spazio</strong> W , dà una base <strong>di</strong> W , come nell’esempio precedente. Si<br />
consideri il sottoinsieme <strong>di</strong> k n,n costituito dalle matrici simmetriche, cioè<br />
Simn(k) = { A ∈ k n,n | t A = A }.<br />
Innanzi tutto osserviamo che Simn(k) è un sotto<strong>spazio</strong> <strong>vettoriale</strong> <strong>di</strong> k n,n . Infatti 0n,n ∈<br />
Simn(k). Se A, B ∈ Simn(k) ed λ ∈ k, per le proprietà che legano la trasposizione alla<br />
somma <strong>di</strong> matrici ed al prodotto <strong>di</strong> matrici per scalari, si ha<br />
A + B = t A + t B = t (A + B), λA = λ t A = t (λA),<br />
cioè A + B, λA ∈ Simn(k). Poiché k n,n è finitamente generato tale deve essere Simn(k),<br />
dunque ha senso calcolarne la <strong>di</strong>mensione.<br />
Restringiamoci al caso n = 2, k = R: tratteremo il caso generale più avanti. In<br />
questo caso sappiamo che una base <strong>di</strong> R 2,2 è data da B = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) (si veda<br />
l’Esempio 18.2.6). Da un lato osserviamo che non ogni matrice <strong>di</strong> R 2,2 è simmetrica,<br />
dunque <strong>di</strong>mR(Sim2(R)) ≤ 3 < 4 = <strong>di</strong>mR(R 2,2 ). Dall’altro le matrici <strong>di</strong> B che sono in<br />
Sim2(R) sono solo E1,1 ed E2,2, dunque <strong>di</strong>mR(Sim2(R)) ≥ 2. Se valesse l’uguaglianza per<br />
la Proposizione 18.1.7 seguirebbe che E1,1 ed E2,2 sarebbero generatori <strong>di</strong> <strong>di</strong>mR(Sim2(R)).<br />
Poiché<br />
�<br />
a1,1<br />
a1,1E1,1 + a2,2E2,2 =<br />
0<br />
�<br />
0 a2,2<br />
è chiaro che E1,1 ed E2,2 non sono sufficienti a generare Sim2(R): conclu<strong>di</strong>amo che<br />
<strong>di</strong>mR(Sim2(R)) ≥ 3 e, quin<strong>di</strong>, <strong>di</strong>mR(Sim2(R)) = 3. Per costruire una base <strong>di</strong> Sim2(R)<br />
è sufficiente trovare allora tre matrici simmetriche linearmente in<strong>di</strong>pendenti: due, E1,1 ed<br />
E2,2, le abbiamo già, quin<strong>di</strong> basta determinare una terza matrice simmetrica che non sia<br />
in L(E1,1, E2,2), cioè che non sia <strong>di</strong>agonale. Posto allora<br />
E1,2 =<br />
� �<br />
0 1<br />
1 0