Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi

4 18.2. DIMENSIONE DI SOTTOSPAZI
In questo modo riusciamo a costruire una successione di vettori { wi }i∈N ⊆ W tale che,
per ogni N ∈ N, i vettori w1, . . . , wN ∈ W sono linearmente indipendenti. In particolare ciò
dovrebbe accadere anche per N = dimk(V )+1, il che è assurdo perché i vettori w1, . . . , wN
sono in W , quindi in V (si veda il Lemma di Steinitz).
Poiché W �= { 0V } è finitamente generato ha basi: sia (w1, . . . , wm) una sua base.
Poiché w1, . . . , wm ∈ W ⊆ V sono linearmente indipendenti (perché formano una base di
W ), allora dimk(W ) = m ≤ dimk(V ) dal Lemma di Steinitz.
Chiaramente se W = V allora dimk(W ) = dimk(V ) = n. Viceversa, se ciò accade, esiste
un insieme di vettori linearmente indipendenti w1, . . . , wn di W ⊆ V , quindi w1, . . . , wn
generano V per la Proposizione 18.1.7: poiché W ⊆ V segue W = V . �
Esempio 18.2.3. In R 4 si considerino v1 = (1, 2, −1, 1), v2 = (2, 1, 1, 0), v3 = (0, 0, 0, 0),
v4 = (1, 1, 0, 0), v5 = (4, 4, 0, 1). Calcoliamo la dimensione di W = L(v1, v2, v3, v4, v5) ⊆
R 4 . Abbiamo visto nell’Esempio 18.1.2 che B = (v1, v2, v4) è una base di W ⊂ R 4 , quindi
dim(W ) = 3 < 4: in particolare W ⊂ R 4 .
Esempio 18.2.4. Sia A = (ai,j) 1≤i≤m
1≤j≤n
∈ k m,n . Abbiamo verificato nell’Esempio 16.2.5
che l’insieme W delle soluzioni in k n,p del sistema omogeneo AX = 0m,p è un sottospazio.
Poiché k n,p è finitamente generato è lecito calcolare la dimensione di W . Poiché la
dimensione di W dipende solo da W ma non da A, possiamo supporre che A sia fortemente
ridotta per righe e, per fissare le idee, possiamo anche supporre che il suo pivot sulla i–
esima riga si trovi nella colonna i–esima. Quindi, posto r = rk(A), il sistema AX = 0m,p
è della forma
(18.2.4.1)
⎛
1 0 . . . 0 a1,r+1 a1,r+2 . . .
⎞
a1,n
⎜ 0
⎜ .
⎜ 0
⎜ 0
⎜
⎝
.
1
.
0
0
.
. . .
. . .
. . .
0
.
1
0
.
a2,r+1
.
ar,r+1
0
.
a2,r+2
.
ar,r+2
0
.
. . .
. . .
. . .
a2,n ⎟
. ⎟
ar,n ⎟ X = 0m,p.
⎟
0 ⎟
.
⎠
0 0 . . . 0 0 0 . . . 0
Indicando con Xi la i–esima riga di X, segue che le soluzioni del Sistema (18.2.4.1)
dipendono dai parametri (vettoriali) liberi Xr+1, . . . , Xn.
Per semplicità limitiamoci, d’ora in avanti, a studiare il caso p = 1 lasciando al lettore
l’analisi del caso p ≥ 2 secondo la stessa procedura. Quindi, da adesso in poi, X ∈ k n,1 .