Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi

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2 18.1. DIMENSIONE DI UNO SPAZIO VETTORIALE che non è possibile se, come stiamo supponendo, i vettori w1, . . . , wm sono linearmente indipendenti. Concludiamo che m ≤ n. � La più importante conseguenza del precedente lemma è Corollario 18.1.2. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C. Allora se B = (v1, . . . , vn) e D = (w1, . . . , wm) sono basi di V risulta m = n. Dimostrazione. Poiché v1, . . . , vn sono generatori di V e w1, . . . , wm sono linearmente indipendenti, per il Lemma 18.1.1 risulta m ≤ n. D’altra parte, poiché w1, . . . , wm sono generatori di V e v1, . . . , vn sono linearmente indipendenti, ancora per il Lemma 18.1.1 risulta anche m ≥ n. � In particolare ciò significa che in uno spazio vettoriale finitamente generato e non nullo tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Questa osservazione ci permette di introdurre la seguente definizione. Definizione 18.1.3. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C finitamente generato. Se V �= { 0V } definiamo dimensione di V il numero dimk(V ) di elementi di una qualsiasi sua base. Se V = { 0V } poniamo dimk(V ) = 0. Nel caso in cui il campo k sia evidente dal contesto, si scrive semplicemente dim(V ). Esempio 18.1.4. Poiché una base di R 3 è la base canonica C = (e1, e2, e3) (si veda Esempio 17.2.5), segue che dimR(R 3 ) = 3. Più in generale sia k = R, C. Allora la base canonica C = (e1, . . . , en) di k n (si veda l’Esempio 17.2.6) è formata da n vettori, dunque dimk(k n ) = n. � Esempio 18.1.5. Lo spazio vettoriale C 2,2 ha B = (E1,1, E1,2, E2,1, E2,2) come base, quindi dimC(C 2,2 ) = 4 (si veda l’esempio 17.2.7). Più in generale se k = R, C, dimk(k m,n ) = mn. Esempio 18.1.6. Sia V uno spazio vettoriale su C. Poiché R ⊆ C, allora V è anche uno spazio vettoriale su R: l’operazione di somma rimane la stessa, quella di prodotto per uno scalare si ottiene restringendo quella definita in V a R ×V ⊆ C ×V . Per esempio C è uno spazio vettoriale su C, 1 ∈ C è linearmente indipendente e genera C come spazio vettoriale su C, poiché a + bi = (a + bi)1, dunque dimC(C) = 1, come già sappiamo dall’Esempio 18.1.4. D’altra parte C è anche spazio vettoriale su R. Da questo punto di vista 1 non è più generatore di C su R: infatti se lo fosse ogni suo elemento sarebbe combinazione lineare di 1 a coefficienti in R e, in questo modo, possiamo ottenere solo i numeri complessi con parte immaginaria nulla. Per generare C su R occorrono almeno due elementi: per esempio 1 ed i sono generatori di C su R, poiché a + bi = (a)1 + (b)i per ogni a, b ∈ R. Inoltre sono linearmente indipendenti: infatti se a, b ∈ R, risulta a + bi = 0 se e solo se s = b = 0, per definizione di 0 in C. Concludiamo che dimR(C) = 2. Più in generale si può dimostrare che se dimC(V ) = n allora dimR(V ) = 2n. Concludiamo il paragrafo con la seguente conseguenza della Proposizione 17.2.8.
LEZIONE 18 3 Proposizione 18.1.7. Sia V �= { 0V } uno spazio vettoriale su k = R, C. Se dimk(V ) = n e v1, . . . , vn ∈ V , le seguenti affermazioni sono equivalenti: i) v1, . . . , vn ∈ V sono generatori di V ; ii) v1, . . . , vn ∈ V sono linearmente indipendenti; iii) (v1, . . . , vn) è base di V . Dimostrazione. Se i vettori v1, . . . , vn ∈ V sono generatori di V scartando eventualmente alcuni di loro potremmo ottenere una base di V : poiché ogni base di V è costituita da n vettori, non è dunque necessario scartare niente, cioè v1, . . . , vn sono già linearmente indipendenti. Viceversa, se i vettori v1, . . . , vn ∈ V sono linearmente indipendenti, aggiungendo eventualmente alcuni altri vettori potremmo ottenere una base di V : poiché ogni base di V è costituita da n vettori, non è dunque necessario aggiungere niente, cioè w1, . . . , wn sono già generatori di V . Quindi i) vale se e solo se vale ii), dunque sono equivalenti a iii). � Esempio 18.1.8. In R 4 si considerino v1 = (1, 2, π, 0), v2 = (3/2, −117, 0, √ 2), v3 = (0, 1, 0, −3/7), v4 = (0, 3, 0, 0). La relazione di dipendenza lineare fra di loro α1v1 + α2v2 + α3v3 + α4v4 = 0 R 4 si traduce immediatamente nel sistema omogeneo ⎧ ⎪⎨ 2α1 − 117α2 + α3 + 3α4 = 0 ⎪⎩ α1 + 3 2 α2 = 0 πα1 = 0 √ 2α2 − 3 7 α3 = 0 : è facile vedere che l’unica soluzione di tale sistema è α1 = α2 = α3 = α4 = 0, cioè i vettori v1, v2, v3, v4 sono linearmente indipendenti. Per la Proposizione 18.1.7, concludiamo che essi sono anche generatori di R 4 senza doverlo verificare direttamente. In particolare B = (v1, v2, v3, v4) è una base di R 4 . 18.2. Dimensione di sottospazi. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C finitamente generato. Nel corso del precedente paragrafoabbiamo introdotto la definizione di dimensione di V . Se W ⊆ V è un suo sottospazio vettoriale viene allora naturale porsi alcune domande: W è finitamente generato? Se sì, ci sono legami tra dimk(W ) e dimk(V )? Proposizione 18.2.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C finitamente generato. Allora ogni sottospazio vettoriale W ⊆ V è finitamente generato. Inoltre si ha che dimk(W ) ≤ dimk(V ) e dimk(W ) = dimk(V ) se e solo se W = V . Dimostrazione. Se W = { 0V } la tesi è ovviamente verificata. Supponiamo che W non sia finitamente generato. Allora esiste w1 ∈ W \ { 0V }: risulta L(w1) ⊂ W , quindi deve esistere w2 ∈ W \L(w1). Per costruzione w1 e w2 sono linearmente indipendenti e, per ipotesi, deve esistere w3 ∈ W \ L(w1, w2).
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