Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi

14 18.4. LA FORMULA DI GRASSMANN
Esempio 18.5.2. Sia V ⊆ R 3 un sottospazio vettoriale di dimensione 2 e sia W =
L(2, 3, −1) ⊆ R 3 . Supponiamo di sapere che dim(V + W ) = 2: allora V ∩ W = L(4, 6, −2).
Infatti, dalle ipotesi, applicando la formula di Grassmann
dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ) − dim(V + W ) = 2 + 1 − 2 = 1
Poiché V ∩W ⊆ W che ha dimensione 1, dal confronto delle dimensioni, per la Proposizione
18.2.1, segue che V ∩ W = W , quindi V ∩ W = W = L(2, 3, −1) = L(4, 6, −2).
Esempio 18.5.3. Siano dati i vettori v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (1, −1, 0, 5), v3 = (2, 1, 3, 3),
v4 = (1, 1, 1, 1), v5 = (1, −1, 2, −5) in R 4 . Consideriamo i sottospazi V = L(v1, v2, v3), W =
L(v4, v5) ⊆ R 4 . Verificare per esercizio che dim(V ) = 3 e dim(W ) = 2.
Allora V ∩ W contiene vettori non nulli. Infatti applicando la formula di Grassmann
dim(V ∩ W ) = dim(V ) + dim(W ) − dim(V + W ) = 3 + 2 − dim(V + W ).
Poiché V + W ⊆ R 4 si ha dim(V + W ) ≤ dim(R 4 ) = 4, sicché dim(V ∩ W ) ≥ 1, quindi
V ∩ W �= { 0 R 4 }.
Esempio 18.5.4. Si noti che ogni matrice A ∈ k n,n può essere decomposta nella somma di
una matrice triangolare superiore e di una matrice strettamente triangolare inferiore. Ciò
significa che k n,n = T Sn(k) + ST In(k). Poiché T Sn(k) ∩ ST In(k) = 0n,n, dalla Formula
di Grassmann segue (si veda l’Esempio 18.2.5)
dimk(ST In(k)) = dimk(T Sn(k) ∩ ST In(k)) + dimk(T Sn(k)) + ST In(k))+
− dimk(T Sn(k)) = 0 + n 2 − n(n + 1)/2 = n(n − 1)/2.