Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di sottospazi

12 18.4. LO SPAZIO kn[x]
Esempio 18.4.1. In R3[x] si considerino i polinomi p1(x) = 1 + x + x 2 + x 3 , p2(x) =
1 − 2x + 3x 2 , p3(x) = x − 2x 3 , p4(x) = 2 + 4x 2 − x 3 , p5(x) = 3x − 2x 2 + x 3 : vogliamo
stabilire se p1(x), p2(x), p3(x), p4(x), p5(x) sono linearmente indipendenti o no e, nel caso
non lo siano, vogliamo trovare una base di W = L(p1(x), p2(x), p3(x), p4(x), p5(x)) ⊆ R3[x].
Innanzi tutto osserviamo che dim(R3[x]) = 4, dunque ogni base di R3[x] è costituita
da esattamente quattro polinomi, quindi un sistema di generatori di R3[x] è costituito
da quattro elementi e, perciò cinque polinomi devono essere linearmente dipendenti per il
Lemma 18.1.1.
Si consideri la base B = (1, x, x 2 , x 3 ) di R3[x]. Allora [p1(x)]B = (1, 1, 1, 1), [p2(x)]B =
(1, −2, 3, 0), [p3(x)]B = (0, 1, 0, −2), [p4(x)]B = (2, 0, 4, −1), [p5(x)]B = (0, 3, −2, 1). La
matrice avente come righe le componenti dei polinomi dati rispetto alla base B è
⎛
1 1 1 1
⎞
⎜ 1
⎜
A = ⎜ 0
⎝
2
−2
1
0
3
0
4
0 ⎟
−2 ⎟
⎠
−1
0 3 −2 1
Con operazioni elementari di riga otteniamo
A
R 2 →R 2 −R 1
R 4 →R 4 −2R 1
−→
⎛
1 1 1 1
⎞
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
−3
1
−2
2
0
2
−1 ⎟
−2 ⎟
⎠
−3
0 3 −2 1
⎛
1 1 1 1
⎞
⎜ 0
⎜
−→ ⎜ 0
⎝
0
1
0
0
0
2
2
−2 ⎟
−7 ⎟
⎠
−7
0 0 −2 7
R2↔R3
−→
R 4 →R 4 −R 3
R 5 →R 5 +R 3
−→
⎛
1 1 1 1
⎞
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
1
−3
−2
0
2
2
−2 ⎟
−1 ⎟
⎠
−3
0 3 −2 1
⎛
1 1 1 1
⎞
⎜ 0
⎜ 0
⎝
0
1
0
0
0
2
0
−2 ⎟
−7 ⎟ = A′
⎠
0
0 0 0 0
R 3 →R 3 +3R 2
R 4 →R 4 +2R 2
R 5 →R 5 −3R 2
−→
Le righe di A ′ sono le componenti rispetto a B dei polinomi q1(x) = 1 + x + x 2 + x 3 ,
q2(x) = x − 2x 3 , q3(x) = 2x 2 − 7x 3 che sono linearmente indipendenti, perchè le loro
componenti rispetto a B sono le righe di una matrice ridotta per righe, cioè A ′ .
Inoltre si ha W = L(p1(x), p2(x), p3(x), p4(x), p5(x)) = L(q1(x), q2(x), q3(x)). In particolare
la terna ordinata (q1(x), q2(x), q3(x)) è una base di W , dunque dim(W ) = 3 e
W ⊂ R3[x].
Chi si voglia convincere direttamente che
osservi che
L(p1(x), p2(x), p3(x), p4(x), p5(x)) = L(q1(x), q2(x), q3(x))
q1(x) = p1(x), q2(x) = p3(x), q3(x) = p2(x) − p1(x) + 3p3(x)