I solidi platonici - IIS-Newton

GIAN PIETRO CHIARO
I solidi platonici
D O M U S E S T U B I C U M Q U E B E N E E S T
2003

“Non defuere decora
ingenia, donec
deterrentur” (Tac.)
Teor. 1
Dim:
I solidi platonici
Di Gian Pietro Chiaro ©2003
In un triedro una faccia è sempre minore della
somma delle altre due e maggiore della loro
differenza.
Internamente alla faccia ac, a partire da V, si traccia
una semiretta d tale che formi con a un angolo
uguale ad ab. Si prendono sugli spigoli a e c due
punti (qualunque) A e C, il segmento AC interseca
la retta d in D, e sullo spigolo b si prende VB = VD.
Si unisce B con A e C.
I due triangoli AVB e AVD sono congruenti per il
1° criterio (AV in comune, VB = VD per
costruzione e AVD = AVB per costruzione). In
particolare sarà AB = AD e ad = ab.
2
H:Vabc triedro
T: ac < ab + bc ab > ac - bc
Applicando al triangolo ABC il teorema:“in un triangolo qualunque un lato è sempre
minore della differenza degli altri due” si ottiene:
Cioè
BC > AC – AB = AC – AD = DC
BC > DC
Considerando i triangoli BVC e DVC essi hanno VC in comune, VB = VD per
costruzione e BC > DC per quanto già detto, per il teorema “se due angoli hanno due
lati ordinatamente uguali ed il terzo lato disuguale, l’angolo opposto al lato maggiore
sarà maggiore dell’angolo opposto al lato minore” si ha:
da cui, sommando membro a membro:
cioè
dc < bc
ad + dc < ab + bc
ac < ab + bc
se bc è la faccia minore, sottraendo da ambo i membri la faccia bc si ottiene:
cioè
ac - bc < ab + bc - bc
ab > ac - bc
La dimostrazione è analoga per le altre facce del triedro. �
A
a
V
D
d
B
b
C
c

Cor. 1 In un angoloide la somma delle facce è minore di due angoli piatti.
Teor. 2
Dim:
In un triedro la somma delle facce è sempre minore
di due angoli piatti.
Si prolunghi la semiretta a altre V e sia d la nuova
semiretta. Applicando al triedro Vbcd il teorema
precedente si ha:
bc < bd + cd
sommando al 1° e 2° membro le due facce non
considerate del triedro Vabc si ottiene:
ab + bc + ac < ab + bd + ac + cd
Ma poiché ab + bd = 180°, e ac + cd = 180°,
sostituendo si ottiene
ab + bc + ac < 360° �
3
H:Vabc triedro
T: ab + bc + ac < 360°
Def. 1 Un poliedro convesso si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari (cioè
equilateri ed equiangoli) tutti congruenti e tutti i suoi angoloidi sono congruenti
Ne consegue che in un poliedro regolare sono uguali e regolari anche i suoi angoloidi. I solidi
Platonici sono poliedri convessi regolari. Essi sono in tutto cinque e non possono essercene altri.
Perché?
Se un poliedro convesso regolare ha per facce triangoli (che, per essere regolari, devono essere
equilateri cioè con angolo interno di 60°), ogni suo angoloide deve essere un triedro, o tetraedro o
pentaedro, dato che la somma delle facce di un angoloide deve essere sempre minore di 360°.
Evidentemente abbiamo nei tre casi:
3 x 60° = 180° 4 x 60° = 240° 5 x 60° = 300°
Se invece il poliedro convesso ha per facce dei quadrati (angolo interno di 90°), ogni suo angoloide
deve essere per forza un triedro, infatti, si ha:
3 x 90° = 270° < 360°
Se invece il poliedro convesso ha per facce dei pentagoni regolari (angolo interno di 108°), ogni suo
angoloide deve essere un triedro e si ha
3 x 108° = 324° < 360°
Se invece consideriamo un poliedro convesso che per facce degli esagoni (angolo interno di 120°),
ogni suo angoloide non può essere neanche un triedro, dato che
3 x 120° = 360°
a
V
b
d
c

il qual fatto che va contro il Teorema 2. A maggior ragione, se un poliedro convesso ha per facce
dei poligoni regolari ad n lati, essendo la somma degli angoli interni di un tale poligono di n - 2
angoli piatti, perciò uno qualsiasi degli angoli interni del poligono deve essere Ω, calcolato come
Ω =
n 2
n
Se consideriamo n > 6, l’angolo interno sarebbe sempre maggiore a 120° e di conseguenza la
somma delle facce sarebbe sempre maggiore di 360°. Concludendo, possiamo affermare che non
esistono altri poliedri regolari convessi tranne cinque. Essi sono: Tetraedro, Esaedro (o Cubo),
Ottaedro, Dodecaedro ed Icosaedro.
Il Tetraedro é l’unica piramide regolare.
D
C
O
A B
4
180
Esso ha:
4 facce
4 vertici
6 spigoli
posto s = AB, si dimostra che:
A t s 2 3 Volume
altezza OD = 6
3 AB
2
12 s3
Si costruisce innalzando dal centro O del triangolo equilatero ABC la perpendicolare OD al piano
ABC. Si descrive quindi nel piano AOD la circonferenza con centro A e raggio AB che taglia in D
la OD. Congiunto D con A, B e C si ha il tetraedro regolare. Infatti, gli spigoli AD, CD e DB, che
sono obliqui con proiezioni uguali, sono uguali, e sono per costruzione uguali ai lati AB, BC, CA
del triangolo equilatero ABC. Da cui si trae che le quatto facce sono triangoli equilateri.
D C
D
A
D
B
Prova a costruire il tetraedro
solido fotocopiando la
pagina, ritagliando la figura
lungo le linee tratteggiate e
piegandola lungo le linee
continue, fino a fare
combaciare il punto D.

L’Esaedro è più noto col nome di Cubo. È l’unico poliedro regolare le cui facce sono quadrati.
5
Esso ha:
6 facce
8 vertici
12 spigoli
posto s = AB, si dimostra che:
A t 6s 2 Volume s 3
Diagonale BH = 3AB
Si costruisce innalzando dai vertici A, B, C e D del quadrato ABCD i segmenti AE, BF, CG e DH,
perpendicolari al piano di questo ed eguali tutti ai lati di esso, ed unendone gli estremi E, F, G ed H.
F
G
H
E F
D
A B
Costruisci il cubo solido:
fotocopia la pagina e ritaglia
lungo i bordi tratteggiati la figura
sottostante, ripiegandola lungo le
linee continue ed incollandola ai
bordi, facendo combaciare i
vertice con lo stesso nome
E
H
G
C
E F
A B
D
C
H G
F
G

F
L’Ottaedro è un poliedro le cui facce sono triangoli equilateri ed è costituito da due piramidi rette a
base quadrata sovrapposte.
A
D
E
F
B
C
6
Esso ha:
8 facce
6 vertici
12 spigoli
posto s = AB, si dimostra che:
A t
2 3 s 2
Volume
2
3 s3
Si costruisce innalzando dal centro O del quadrato ABCD la perpendicolare OF al piano di esso. Poi
con centro in A e raggio AB si descrive nel piano BEF la circonferenza, che tagli EF nei punti E ed
F. Congiungendo E ed F ai vertici A, B, C, D del quadrato si ha l’ottaedro richiesto. Infatti, dato che
gli spigoli hanno proiezioni uguali, sono uguali tra loro ed uguali al lato del quadrato ABCD per
costruzione. Ne consegue che le otto facce sono dei triangoli equilateri.
C
B
A
E
B
Costruisci l’ottaedro solido:
fotocopia la pagina e ritaglia
lungo i bordi tratteggiati la figura
sottostante, ripiegandola lungo le
linee continue ed incollandola ai
bordi, facendo combaciare i
vertice con lo stesso nome
C
F
E
D

Il Dodecaedro è l’unico poliedro regolare le cui facce sono pentagoni regolari.
Esso ha:
7
12 facce
20 vertici
30 spigoli
posto s lunghezza dello spigolo, si dimostra che:
A t 15
5 2 5
5
s 2
Volume
15 7 5
4
Costruisci il dodecaedro solido:
fotocopia la pagina e ritaglia la
figura lungo i bordi, lasciando un
spazio sufficiente ad incollarlo,
ripiegandola poi lungo le linee
continue ed incollandola ai bordi.
s 3

L’Icosaedro è l’ultimo ed il più complesso dei poliedri regolari: le sue venti facce sono triangoli
equilateri.
Esso ha:
8
20 facce
12 vertici
30 spigoli
posto s lunghezza dello spigolo, si dimostra che:
A t
5 3 s 2
Volume
5
12
3 5 s3
Si costruisce innalzando dai vertici A, B, C e D del quadrato ABCD i segmenti AE, BF, CG e DH,
perpendicolari al piano di questo ed eguali tutti ai lati di esso, ed unendone gli estremi E, F, G ed H.
Costruisci l’icosaedro solido:
fotocopia la pagina e ritaglia la
figura lungo i bordi, lasciando un
spazio sufficiente ad incollarlo,
ripiegandola poi lungo le linee
continue ed incollandola ai bordi.

Ogni poliedro regolare ha un centro dal quale sono equidistanti i vertici e le facce: esso è il centro
della sfera circoscritta al poliedro regolare. La distanza da uno dei suoi vertici al centro si dice,
infatti, raggio, mentre la distanza di una faccia dal centro si dice apotema, mutuando un nome caro
alla geometria piana. Si può dimostrare che un poliedro è regolare se, e solo se, esso è inscrittibile e
circoscrittibile ad una sfera. Chiaramente, per ragioni di simmetria, dette sfere saranno
concentriche.
Nei poliedri regolari, eccettuato il tetraedro, le facce e gli spigoli sono a due a due paralleli; perciò
si può parlare di facce opposte, spigoli opposti e vertici opposti.
Si può dimostrare che i centri delle facce di un poliedro regolare sono i vertici delle facce di un altro
poliedro regolare. In tal modo si ottiene il dodecaedro dall’icosaedro: basta, infatti, osservare che il
numero delle facce di uno è pari al numero di vertici dell’altro. Allo stesso modo l’icosaedro si
ottiene dal dodecaedro. Si dice in questo modo che l’icosaedro ed il dodecaedro sono poliedri
coniugati. Così sono coniugati ottaedro e cubo. Il tetraedro regolare è autoconiugato (= coniugato
di sé stesso) dato che è l’unico poliedro regolare che ha lo stesso numero di facce e vertici.
Dimostriamo ora due importanti teoremi che ci permetteranno di provare che esistono solo cinque
tipi di poliedri regolari.
Teor. 3
Dim:
Nota:
(Relazione di Eulero)
In ogni poliedro convesso il numero delle facce, aumentato del numero dei vertici, è
uguale al numero degli spigoli aumentato di due.
In formula
avendo indicato con
f + v = s + 2
f numero delle facce
v numero dei vertici
s numero degli spigoli
Consideriamo una sola faccia del solido: evidentemente sarà f = 1 e v = s quindi
f + v = s + 1 (*)
Aggiungiamo un’altra faccia.
Allora f aumenterà di 1, mentre, se n è il numero dei vertici della nuova faccia (non
necessariamente coincidente col numero dei vertici della prima faccia), v aumenterà di n
ed s aumenterà di n + 1, perciò ambo i membri della relazione (*) aumenteranno di n + 1
e la relazione resterà invariata. Continuando ad aggiungere facce, una per volta, finché
manchi una sola faccia per chiudere il poliedro la relazione (*) resta sempre invariata.
Aggiungiamo, infine, l’ultima faccia: f aumenterà di uno, ma né v né s aumenteranno,
perciò si avrà
f + v = s + 2
che è quanto si doveva dimostrare. �
questa tecnica di dimostrazione si definisce induzione. La validità del principio d’induzione si può far
scaturire dall’assioma della scelta “ogni sottoinsieme non vuoto di numeri interi ha un minimo”; viceversa,
se si postula il principio d’induzione si può dimostrare che ogni sottoinsieme non vuoto di interi ha un
minimo.
9

Teor. 4
Dim:
Nota:
Non esistono poliedri in cui tutte le facce abbiano più di cinque spigoli.
Se ogni faccia avesse sei o più spigoli, il numero di tutti gli angoli del poliedro sarebbe
maggiore od uguale a 6f, dato che ogni faccia ha angoli e spigoli in ugual numero. Dal
momento che ogni spigolo appartiene a due facce il numero degli angoli di un poliedro è
doppio del numero degli spigoli. Quindi si avrebbe
da cui, usando l’algebra
10
2s ≥ 6f
f
1
s (*)
3
Inoltre, da ogni vertice del poliedro escono almeno tre spigoli. Quindi, tenendo conto che
ogni spigolo appartiene a due angoloidi, il numero degli spigoli degli angoloidi del
poliedro sarà
cioè
s
v
3
2 v
2
s (**)
3
Addizionando membro a membro le relazioni (*) e (**), avremo che
cioè
f v
1 2
s
3 3 s
f + v ≤ s
Il che è in contrasto con la relazione di Eulero. �
questa tecnica di dimostrazione si definisce “dimostrazione per assurdo” o “modus tolens”. Essa, già
molto nota presso i greci, consiste nel negare la tesi e nel far vedere che necessariamente discende una
contraddizione con l’ipotesi o con un postulato o con teorema precedentemente dimostrato.
Siamo ora pronti a dimostrare geometricamente che esistono solo cinque poliedri regolari convessi.
Essi sono: Tetraedro, Esaedro (o Cubo), Ottaedro, Dodecaedro ed Icosaedro.
Teor. 5
Dim:
I poliedri, in cui le facce hanno uguale numero di lati (risp. gli angoloidi uguale numero
di spigoli) possono essere soltanto tetraedri, esaedri, ottaedri, dodecaedri ed icosaedri.
Indichiamo con n ≥ 3 il numero dei lati di ogni faccia e con a ≥ 3 il numero di facce di
ogni angoloide.
Il numero 2s degli angoloidi del poliedro risulta uguale sia al prodotto fn (facce per il
numero dei lati di ogni faccia) che va (vertici per il numero di facce di ogni angoloide).
Quindi
fn = 2s e va = 2s
da cui (continua -›)

f
2
s e v
n
Sostituendo ora nella formula di Eulero si ha che
da cui
2 2
s s s 2
n a
s
11
2
a s
2na
2n 2a na (*)
Siccome tutte le facce del poliedro hanno un uguale numero di spigoli, questi non
possono essere più di cinque, perciò i valori possibili di n possono essere solo
Supponendo n = 3 la (*) diventa
s
3, 4, 5
6a
6 a
quindi, dovendo essere il denominatore sempre positivo, può essere a = 3, 4, 5.
Esaminiamo i tre casi.
a = 3
n = 3
a = 4
n = 3
a = 5
n = 3
s
6 3
6 3
Si ottiene così il tetraedro.
s
6
6 4
6 4 12
Si ottiene così l’ottaedro.
s
6 5
6 5
30
Si ottiene così l’icosaedro.
Supponendo n = 4 la (*) diventa
f
f
f
2
n s
2
n s
2
n s
s
2
6 4
3
2
12 8
3
2
30 20
3
4a
4 a
v
v
v
2
a s
2
a s
2
a s
2
6 4
3
2
12 6
4
2
30 12
5
quindi, dovendo essere il denominatore sempre positivo, può essere solo a = 3.
s
4 3
4 3 12
f
2
n s
2
12 6
4
v
2
a s
2
12 8
3
Si ottiene così la famiglia l’esaedro. (continua -›)
Supponendo n = 5 la (*) diventa

s
12
10a
10 3a
quindi, dovendo essere il denominatore sempre positivo, può essere solo a = 3.
s
10 3
10 3 3
30
Si ottiene così il dodecaedro�
f
2
n s
2
30 12
5
v
2
a s
2
30 20
3
Per concludere la nostra breve incursione tra i solidi platonici, esaminiamo le simmetrie di cui
godono alcuni i solidi regolari di “uso” più comune che hai già incontrato in chimica.
6 piani di simmetria, ognuno passante per uno
spigolo ed il punto medio dello spigolo opposto.
3 piani di simmetria diagonali passanti per due
spigoli paralleli
Tetraedro regolare
3 assi di simmetria: sono le rette che uniscono i
punti medi di due spigoli opposti.
Ottaedro regolare
6 piani di simmetria mediani passanti per due
vertici opposti ed i punti medi dei lati opposti
(continua -›)

9 assi di simmetria: 3 sono le rette che uniscono i vertici opposti , 6 sono le rette che uniscono i
punti medi di due spigoli paralleli.
Un centro di simmetria: è il centro delle sfere inscritta e circoscritta all’ottaedro, che coincide anche
con le intersezioni di tutti gli assi di simmetria e dei piani di simmetria e delle diagonali.
6 piani di simmetria diagonali passanti per due
spigoli opposti
O
Esaedro regolare o Cubo
3 piani di simmetria mediani passanti il centro e
paralleli a due facce opposte
13
(continua -›)

9 assi di simmetria: 3 sono le rette che uniscono i centri di due facce opposte , 6 sono le rette che
uniscono i punti medi di due spigoli opposti.
Un centro di simmetria: è il centro delle sfere inscritta e circoscritta al cubo, che coincide anche con
le intersezioni di tutti gli assi di simmetria e dei piani di simmetria e delle diagonali.
Una ricerca simile, ma molto più impegnativa, può essere fatta anche per il dodecaedro e
l’icosaedro; prova a cercare i loro piani ed assi di simmetria facendo uso delle figure solide che ti
sarai costruito fotocopiando e ritagliando i loro sviluppi piani. Sappi comunque che tanto il
dodecaedro quanto l’icosaedro hanno un centro di simmetria: è l’intersezione di tutti i piani e gli
assi di simmetria e delle diagonali. Sapendo che l’icosaedro è il coniugato del dodecaedro, dovresti
poter calcolare quanti sono gli assi ed i piani di simmetria del dodecaedro sapendo quanti sono i
piani e gli assi di simmetria dell’icosaedro.
Esercizi consigliati
1 Calcola la lunghezza della diagonale di un ottaedro regolare di spigolo s.
2 Dimostra che le quattro altezze di un tetraedro regolare sono uguali. (Suggerimento: calcolale)
3 Dimostra che in un tetraedro regolare il triplo del quadrato costruito sull’altezza è il doppio del
quadrato costruito sullo spigolo.
4 Calcola il numero delle diagonali di ciascuno dei cinque solidi platonici, ricavandone quindi una
possibile numerazione (ordinamento) di tali poliedri. Sussiste qualche attinenza tra il numero
delle diagonale e la relazione di Eulero?
5 Calcola l’apotema di ciascun poliedro regolare tenendo conto che lo spigolo misuri s.
6 Calcola l’area della superficie di un tetraedro regolare circoscritto ad una sfera di raggio r.
14
O