CAPITOLO 3: ANALISI DI SOLIDI ELASTO-PLASTICI - DICAT

CAPITOLO 3: ANALISI DI SOLIDI ELASTO-PLASTICI
3.1 Introduzione
Scopo di questo capitolo è mostrare come il calcolo a rottura possa essere applicato, in presenza di
uno stato di sollecitazione generico, anche a strutture bi e tridimensionali.
Nel primo paragrafo vengono brevemente riportati i criteri di snervamento pluri-assiali di più
frequente impiego tecnico, peraltro in parte presentati nel corso di Scienza delle Costruzioni.
Nel secondo paragrafo viene presentata in modo unitario la classica teoria della plasticità (flow
theory) a partire dal postulato della dissipazione massima mentre nel paragrafo successivo
vengono discusse le equazioni costitutive elasto-plastiche, incrementali.
3.2 Criteri di snervamento e di crisi pluri-assiali
Non si ripete in questi appunti la discussione delle basi meccaniche dei criteri di crisi per i materiali
metallici o lapidei per cui si rimanda al testo di Scienza delle Costruzioni (L. Gambarotta, L.
Nunziante, A. Tralli op. cit. capitolo 7, pp. 485-520).
Supposto di poter considerare un comportamento plastico e sufficientemente duttile per il materiale
solido in esame e ciò è possibile non solo per i materiali metallici ma anche, in molte circostanze,
per i terreni si ricorda che la funzione di snervamento (yield surface) f(σ) =0 definisce l’insieme
degli stati di tensione per cui il materiale presenta flusso plastico:
→f( σ ) < 0 Stati elastici;
→f( σ ) = 0 Stati plastici;
→f( σ ) > 0Stati
non ammissibili.
• Per semplicità si considereranno solo materiali che presentano funzioni di snervamento di
tipo isotropo (ossia uguali in tutte le direzioni) che dipendono pertanto solo dalle tensioni
(tensioni principali) e/o dagli invarianti di tensione.
Nel seguito con Σ si indicherà il tensore delle tensioni e con σ il vettore di delle tensioni secondo
la convenzione di Voigt.
⎡σ11 Σ= ⎢
⎢
σ12 ⎢⎣σ13 σ12 σ22 σ23 σ13 ⎤
σ
⎥
23 ⎥
σ ⎥ 33 ⎦
⎡σ1 Σ=
⎢
⎢
0
⎢⎣0 0
σ2
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
σ ⎥ 3 ⎦
σ = { σ11 σ22 σ33 σ12 σ13 T
σ 23} σ = { σ1 σ2 σ3
0 0
T
0}
riferimento generico
riferimento principale
Nel seguito si farà riferimento sia al tensore delle tensioni di Cauchy Σ per cui si ha:
I = tr Σ =σ +σ +σ ,
1 1 2 3
( ) 2 1
2
I2 = ⎡ tr Σ − tr Σ ⎤ =σσ 1 2 +σσ 1 3+σ2σ3, 2 ⎣ ⎦
I = detΣ
=σσ σ ;
3 1 2 3
o al tensore degli sforzi deviatorici
D
Σ
1

σ +σ +σ
= ,
3
D
1 2 3
Σ = Σ −pI, dove con p si indica la pressione idrostatica p
dal quale invece si ottiene:
D
J1= tr = 0
Σ ,
1 D2 1 D2 D2 D2 1
2 2 2
J2 = tr ( Σ ) = ( σ 1 +σ 2 +σ 3 ) = ⎡( σ1−σ 2) + ( σ2 −σ 3) + ( σ1−σ3) ⎤ ,
2 2 6⎣ ⎦
J = detΣ
=σσσ .
D D D D
3 1 2 3
I principali criteri che comunemente vengono utilizzati nelle applicazioni sono:
• Funzione di snervamento di Huber Henky von Mises:
τ 0 parametro del materiale.
• Funzione di snervamento di Tresca:
1
max
2
( )
f J = J −τ = 0
2 2 0
τ= ( σ−σ ) =τ ( σ ≥σ ≥σ )
I III 0
I II III
( ) 3 2 4 4 6
f I , J , J = 4J − 27 J + 36 τ J + 96τ J −64τ = 0 .
• Funzione di snervamento di Mohr.Coulomb:
c = coesione ; ϕ=angolo di attrito interno.
• Funzione di snervamento di Drucker-Prager:
1 2 3 2 3 0 2 2 0
max τ = c −σtanϕ ( )
f I , I =α I + J −τ = 0.
1 2 1 2 0
3.3 Il comportamento dei materiali in campo plastico (Flow Theory of Plasticity)
Si assumono le seguenti ipotesi :
• Nel caso mono-assiale, studiato nel primo capitolo, si possono avere deformazioni plastiche
se e solo se σ = σ0 ; in generale è possibile uno stato di deformazione plastica caratterizzato
dal vettore εp solo se il vettore degli sforzi σ, che rappresenta un punto nello spazio delle
tensioni, verifica la condizione di snervamento:
f(σ)=0.
• Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, come nel caso mono-assiale, il vettore di deformazione ε
può essere decomposto nella somma di una parte elastica εe e di una parte plastica εp
(decomposizione additiva).
ε = εe + εp
• Il tensore degli sforzi σ dipende linearmente dal tensore delle deformazioni elastiche εe
σ = C εe
2

Avendo indicato con C=C T il tensore costitutivo (iper)elastico, simmetrico e definito
positivo.
• Materiale plastico incrementale standard.
3.3.1 Materiale plastico incrementale standard
Nel capitolo 2, nel caso mono-assiale, il postulato risulta una semplice conseguenza delle
condizioni di ammissibilità plastica, nel caso generale, invece, esso deve essere assunto a priori.
• Postulato della massima dissipazione plastica (o di Hill)
ε� indichi un generico stato di deformazione plastica incrementale, fra tutti gli stati di tensione
p
D ε� = σ ε�
.
ammissibili σ* , lo stato di tensione effettivo σ rende massima la potenza dissipata ( ) T
* T T
( σ ε�p) σ ε�p ( ε �p)
( ) T
* T T
*
p p p
p p
max = = D ≤0
I materiali il cui comportamento verifica questo postulato vengono detti materiali standard. Per
questi materiali in conseguenza del postulato risultano verificate le seguenti proprietà che
spontaneamente risultano verificate dal dominio di interazione N-M:
• La superficie f(σ)=0 di snervamento è convessa
( Convessità: un dominio di snervamento è convesso se dati due stati di tensione
ammissibili σ1 ed σ2 risulta ammissibile un qualunque stato σ = ασ1 + βσ2 (0

Osservazioni
O
σ
*
σ
( ) T
*
σ− σ ε� < 0
p
Fig.3.1
f (σ) =0
σ * σ −
1-Nel testo di L. Corradi, a pag. 53, la relazione
( ) T
*
σ−σ ε� p ≥0
viene assunta come ipotesi indipendente e definita Postulato di Stabilità di Drucker.
Conviene ricordare come Drucker sulla base di considerazioni di carattere termodinamico abbia
proposto due disuguaglianze.
I disuguaglianza o stabilità in piccolo.
T
σε� p ≥ 0
Questa condizione esprime semplicemente che occorre fornire dall’esterno energia per modificare
lo stato di deformazione del materiale.
Si osservi tuttavia che un materiale che in una prova mono-assiale presenta un tratto softening
viene a violare questa disuguaglianza.
Tuttavia per ottenere un tratto discendente nella curva carico-spostamento occorre sottoporre il
campione sperimentale (di cls o di qualunque altro materiale elasto-fragile o con incrudimento
negativo) ad una prova a spostamento controllato in grado di seguire il materiale in un tratto
instabile.
II disuguaglianza o postulato di Drucker
Il secondo principio della termodinamica ( disuguaglianza di Clausius-Duhem) richiede peraltro che
sia non negativa la potenza lungo un qualunque ciclo chiuso nello spazio delle deformazioni.
Se si considera un ciclo a partire da un generico punto di tensione σ* interno alla funzione di
snervamento fino a giungere al punto di tensione σ sulla superficie esterna, poiché il lavoro
associato alle deformazioni elastiche è nullo perché uguale nei due sensi, la potenza dissipata totale
risulta ( ) T
*
σ−σ ε� ≥0.
p
2-La legge di normalità si scrive dunque nel modo seguente:
⎛ ∂f
⎞
ε� p = nλ= �
⎜ ⎟λ�
λ≥ � 0 moltiplicatore plastico
⎝∂σ⎠ εp
n
4

In alcuni casi , e.g. i terreni che presentano fenomeni di dilatanza ossia i materiali di tipo attritivo, le
deformazioni plastiche non sono dirette lungo la normale alla funzione di snervamento. Leggi di
flusso di questo tipo vengono dette leggi di flusso non associate:
⎛ ∂g
⎞
materiali con legame non associato ε�
p = vλ= �
⎜ ⎟λ�
( v≠n )
⎝∂σ⎠ La funzione g(σ) viene definita potenziale plastico e nel caso associato il potenziale viene assunto
coincidente con la funzione di snervamento: g(σ) = f(σ).
3-In un punto o linea di discontinuità della superficie limite ove f è non differenziabile (punti o
linee di discontinuità sono presenti in vari criteri e.g. Tresca, Mohr-Coulomb .. oltre che nei
materiali che presentano criteri con più superfici di snervamento, Fig.3.2) il postulato della
massima dissipazione implica che ε� p deve appartenere al cono delle normali uscenti
ε� p =λ� ini λ� i ≥0
.
Con riferimento alla Fig.3.9 si può scrivere:
n
ε�p= ∑ hε�ph 1
n
⎛∂fh⎞ = h⎜ ⎟λ�
∑ h
1 ⎝ ∂σ
⎠
f k (σ)
β
σ
ε εp
f (σ) = 0
1
n
σ α
fh (σ) = 0
Fig.3.2
3.4 Forma incrementale dell’ equazione costitutiva elasto-perfettamente plastico
(EPP)
Qualitativamente continuano a valere tutte le considerazioni fatte in precedenza per le equazioni
costitutive mono-assiali , occorre tuttavia tener conto del fatto che lo stato di tensione e di
deformazione sono ora rappresentati da due grandezze σ e ε.
Le relazioni che reggono il problema ora risultano:
( p )
σ� = C ε�−ε� legge costitutiva elastica
⎛ ∂f
⎞
ε�
p = λ�
⎜ ⎟ regola del flusso associato
⎝∂σ⎠ f ( σ)
≤ 0 condizione di ammissibilità plastica
f ( σ)
λ= � 0 condizione di consistenza
λ≥ � 0 .
5

(Si osserva come le ultime tre relazioni possano essere interpretate come condizione di vincolo-la
condizione di ammissibilità- come moltiplicatore Lagrangiano del vincolo il moltiplicatore plastico
λ � e come condizione di complementarietà. Nel loro insieme vengono definite condizioni di Karush-
Kuhn-Tucker).
Si ha risposta elastica del materiale se il punto tensione è :
a- all’interno del dominio di ammissibilità
(a) f ( σ) < 0 ⇒λ> � 0 ⇒ ε�
p = 0 ( λ � = 0)
b- sulla superficie di snervamento ma è in atto uno scarico elastico
f σ = 0, f � σ < 0 ⇒λ= � 0 ⇒ε
� = 0
(b) ( ) ( ) p
Si ha una risposta plastica se il punto è sulla superficie e non tende a rientrare in campo elastico.
∂f
f ( σ) = f � ( σ) = 0 ⇒λ> � 0 ⇒ε� p=
λ�
∂σ
Per quanto riguarda il tensore costitutivo si ha:
a- nel caso in cui il punto si trovi all’interno del dominio si ha l’equazione costitutiva elastica
f σ < 0 ⇒ ε� = 0 , ε� = ε�
( ) p e
⇒ σ� = Cε �
Si ha la stessa risposta incrementale nel caso in cui f(σ)=0 e si ha scarico elastico
T
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟ C ε�
< 0 condizione di scarico
⎝∂σ⎠ b- nel caso in cui il punto tensione resti sulla superficie di snervamento
T
f
f � ∂
( σ) = σ=
0
∂σ
L’equazione costitutiva elastica come noto è σ� = Cε �e, dunque si ha:
⎛ ∂f
⎞
σ� = C ⎜ε�− λ�
⎟
⎝ ∂σ
⎠
Procedendo come riportato nel seguito, in analogia al modulo elasto-plastico Eep del caso monoassiale
(par. 1.3), è utile definire in vista di analisi agli elementi finiti il tensore costitutivo
elasto-plastico C ep .
Imponendo la permanenza in fase plastica f� = 0 si ottiene:
⎛ ∂f
⎞
T
f f
⎜ ⎟ C ε�
⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∂
− λ = 0 ⇒ λ=
⎝ ⎠
⎜ ⎟ ⎜
� � � σ
C ε ⎟
T
⎝∂σ⎠ ⎝ ∂σ
⎠ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟ C⎜
⎟
⎝������� ∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ⇒ Essendo per definizione λ≥ � 0 ⇒ si ottiene il criterio di permanenza in fase plastica nella
forma:
T
> 0
6

T
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟ C ε�
> 0
⎝∂σ⎠ cui corrisponde l’incremento della deformazione plastica in funzione dell’incremento di
deformazione totale:
e quindi l’incremento di tensione:
essendo ep
⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ C
� ⎝∂σ⎠⎝∂σ ε
⎠
p = ε�
T
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟ C⎜
⎟
⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ T
T
⎡ ⎤
σ� = C ε� 1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
− C T ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞ ⎢⎣⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎜ ⎟ C⎜
⎟
⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ⎥Cε�
= C �
epε,
⎥⎦
C la matrice di rigidezza tangente elasto-plastica
T
simmetrica e semi definita positiva C = C .
T
⎡ ⎤
1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
⇒ Cep = C− C T ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ C ,
⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞ ⎢⎣ ⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎥⎦
⎜ ⎟ C⎜
⎟
⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ep ep
Esempio: Le equazioni costitutive di Prandtl-Reuss per i metalli
Funzione di snervamento di Huber-Henky-Von Mises ( σ ) 2 0
∂
= ⇒ = λ ⇒ ∆ = + + = 0
∂ τ τ
D
f σ 1 D
ε�pσ � �
p ε�p1 ε� � p2 εp3
σ 2 0 2 0
dove
D
σ e
f = J −τ = 0
incomprimibilità plastica
D
σ risultano rispettivamente i seguenti vettori rappresentati in un riferimento generico:
Ricordando la forma analitica di 2 J
σ
σ
{ 11 22 33 2 12 2 13 2 23}
{ 11 22 33 12 13
T
23}
= σ σ σ σ σ σ
D D D D D D D
= σ σ σ σ σ σ
D D D D D D D
1
2 2 2 2 2 2
J2 = ⎡( σ11−σ 22) + ( σ22 −σ 33) + ( σ33−σ 11) + 6(
σ 12 +σ 23+σ31) ⎤
6 ⎣ ⎦ ,
la funzione di snervamento diventa:
1 1 2 1 2 1
2 2 2 2
f ( σ ) = ( σ11 −σ 22 ) + ( σ22 −σ 33 ) + ( σ33 −σ 11) + 3( σ 12 +σ 23 +σ31) −τ 0 = 0.
3 2 2 2
Derivandola per la prima e la quarta componente del vettore σ si ottiene:
T
7

∂f ∂σ
=
1 1
( 2σ
−σ −σ ) =
3 ⎡
σ
1
− ( σ +σ +σ
⎤
) =
1
τ
σ =
1
τ
σ
∂f
∂σ
=
1 1
( 6σ
1
) = σ
τ
1
= σ
τ
=
1
τ
σ
D D
11 22 33 11 11 22 33 11 11
11 2 3 3J 3 2 2 2 3 3J
⎢
2 ⎣
⎥
⎦ 0 2 0
D D
12 2 3
D
3J2
12
0
12
0
12
2 0
12
∂f
σ
⇒ =
∂σ2τ Sapendo che
0
c.v.d.
∂ f σ
=
∂σ2τ Elasticità isotropa
D
0
è possibile scrivere la matrice elasto-plastica nella seguente forma:
1
D DT
Cep = C− C⎡ ⎤
DT D ⎣σ σ ⎦ C .
σ C σ
Nel caso di elasticità la parte deviatorica della risposta prende la forma:
•
D D
Cσ = 2Gσ
, dove
E
G= è il modulo di elasticità tangenziale
21+v ( )
D DT D DT D D
T
2 D DT
• C ⎡σ σ ⎤C= ⎡Cσ ⎤⎡σ C⎤ = ⎡Cσ⎤⎡Cσ ⎤ = 4G ( σ σ )
•
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
σ C σ = 2G σ σ = 2G ⋅ 2J = 4G τ
DT D DT D 2
2 0
G
⇒ C = C− ⎣σ σ ⎦.
D DT ⎡ ⎤
ep 2
τ0
3.4.2 Modelli di incrudimento
Per descrivere l’evolversi della superficie di snervamento al variare della storia di deformazione si
assume che essa dipenda dalla parte plastica della deformazione:
( σε � p )
f , = 0
• Incrudimento isotropo
Si assume che la funzione di snervamento dipenda da una variabile scalare χ (work hardening)
Ed evolva in modo omotetico come mostrato in Fig.3.3.
( )
εp
χ ε� = ∫ σ dε
� Lavoro plastico incrudente
T
p p
0
( )
Funzione di snervamento σ ( ε
� p )
f , χ = 0
.
8

σ 2
σ
f ( σ)
=0
Fig.3.3
T T
dχ = σ d ε� ⇒ χ � = σ ε � incremento di lavoro plastico
p p
• Punto tensione sulla superficie di snervamento:
T T
f f f
T
f� ⎡∂ ⎤ ∂ ⎡∂ ⎤
= σ� + χ� = 0⇒ σ� − hσ ε�p=
0
⎢
⎣∂σ⎥ ⎦
avendo definito
∂f
h =− .
∂ χ
∂σ ⎢
⎣∂σ⎥ ⎦
∆σ
f p
( σ, χ ( ε )) = 0
σ 1
funzione di snervamento attuale
funzione di snervamento iniziale
È possibile determinare ora il moltiplicatore plastico λ� , il vettore delle deformazioni plastiche �ε p e
la matrice elasto-plastica tangente.
T T
⎛ ∂f ⎞ ⎡⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞⎤
⇒ ⎜ ⎟ Cε� = ⎢⎜ ⎟ C⎜ ⎟+ σ ⎜ ⎟⎥
�
⎝∂σ⎠ ⎢⎣⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠⎥ ������������� ⎦
T
⎡ ⎤
1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
ε�p= ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ C⎥ε� D ⎢⎣⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎥⎦
T
⎡ ⎤
1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
Cep = C− C⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥C
D ⎢⎣⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎥⎦
D
T
h λ
9

• Incrudimento cinematico
Per descrivere l’effetto Bauschinger si trasla l’origine degli assi nello spazio delle tensioni in cui è
definita la funzione di snervamento f di uno stato di sforzo σb detto back stress, Fig.3.4 .
f σσ , = f σ−σ Funzione di snervamento ( ) ( )
b b
In genere il back stress è definito nel modo seguente:
regola di incrudimento di Melan-Prager σ� b = Cε �p
σ 2
σ
b
σ
f ( σ)=0
Fig.3.4
• Punto tensione sulla superficie di snervamento:
T
f
f � ⎛ ∂ ⎞
= ⎜ ⎟ ( σ� − σ�
b ) = 0
⎝∂σ⎠ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟=−⎜ ⎟
∂σ ⎝∂σ ⎠
σ−σ
b
f b
( σ−σ ) = 0
σ 1
Funzione di snervamento iniziale
Funzione di snervamento attuale
⎝ b ⎠
È possibile determinare ora il moltiplicatore plastico λ� , il vettore delle deformazioni plastiche �ε p e
la matrice elasto-plastica tangente.
T
⎛ ∂f ⎞ ⎧ ⎡ ⎛ ∂f ⎞ ⎤ ⎛ ∂f
⎞ ⎫
⎜ ⎟ ⎨C⎢ε�− λ� ⎜ ⎟ ⎥−C
⎜ ⎟λ�
⎬=
0
⎝∂σ⎠ ⎩ ⎣ ⎝∂σ⎠ ⎦ ⎝∂σ⎠ ⎭
T T T
⎛ ∂f ⎞ ⎡⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f ⎞ ⎛ ∂f
⎞⎤
⎜ ⎟ Cε�= ⎢⎜ ⎟ C⎜ ⎟+ C ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥λ�
⎝∂σ⎠ ⎢⎣⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠ ⎝∂σ⎠⎥ ����������������� ⎦
T
⎡ ⎤
1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
ε�p= ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ C ⎥ε�
D ⎢⎣⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎥⎦
T
⎡ ⎤
1 ⎛ ∂f ⎞⎛ ∂f
⎞
Cep = C− C⎢⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥C
D ⎢⎣⎝∂σ⎠⎝∂σ⎠ ⎥⎦
D
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