G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
formula aε(u, v) = (u, v) + ε 2 ((u, v)) è ovviamente ben definita, bilineare e simmetrica ed è anche
continua e coerciva in quanto
|aε(u, v)| ≤ |u| |v| + ε 2 �u� �v� ≤ (c 2 + ε 2 )�u� �v� e aε(v, v) = |v| 2 + ε 2 �v� 2 ≥ ε 2 �v� 2
per ogni u, v ∈ V , ove c è sempre la norma dell’immersione continua di V in H . Ci proponiamo
di dimostrare che, per ε → 0 , si hanno le convergenze forti
uε → f in V ∗ se f ∈ V ∗ , uε → f in H se f ∈ H e uε → f in V se f ∈ V . (5.7)
Applichiamo R −1 all’equazione, osservando che tutti i termini dell’uguaglianza ottenuta appartengono
a V , e moltiplichiamo scalarmente per uε nel prodotto scalare di H . Otteniamo
(uε, R −1 uε) + (uε, ε 2 uε) = (uε, R −1 f) cioè 〈Rvε, vε〉 + ε 2 |uε| 2 = 〈uε, R −1 f〉 ove vε = R −1 uε.
Ma 〈Rvε, vε〉 = ((vε, vε)) = �vε� 2 = �uε� 2 ∗ e 〈uε, R −1 f〉 ≤ �uε�∗�R −1 f� = �uε�∗ �f�∗ . Quindi
�uε� 2 ∗ + ε 2 |uε| 2 ≤ �uε�∗ �f�∗ da cui �uε� 2 ∗ ≤ �uε�∗ �f�∗ da cui �uε�∗ ≤ �f�∗ . (5.8)
Riprendendo la prima delle disuguaglianze (5.8) e tenendo conto dell’ultima, deduciamo
ε 2 |uε| 2 ≤ �uε�∗ �f�∗ ≤ �f� 2 ∗ da cui ε|uε| ≤ �f�∗ . (5.9)
Sia ora {εn} una qualunque successione infinitesima. Mostriamo che da questa possiamo estrarre
una sottosuccessione {εnk } tale che la corrispondente successione ottenuta prendendo ε = εnk in
uε converge a f in V ∗ . Allora, per la Proposizione A.1.9, o meglio a una sua variante ovvia
in cui il parametro discreto n è sostituito dal parametro continuo ε , varrà la prima delle (5.7).
Tuttavia, per semplificare le notazioni, scriviamo ε sia al posto di εn sia al posto di εnk . Grazie al
Teorema 5.1 di compattezza debole, abbiamo uε ⇀ u in V ∗ per una certa sottosuccessione e per un
certo u ∈ V ∗ . Dimostriamo che u = f . Siccome R −1 ∈ L(V ∗ ; V ) abbiamo R −1 uε ⇀ R −1 u in V
(si ricordi il Corollario 4.8). D’altra parte, applicando R −1 alla (5.6) e tenendo conto della (5.9),
deduciamo che
R −1 f − R −1 uε = ε 2 uε e ε 2 |uε| ≤ ε�f�∗ , da cui R −1 uε → R −1 f in H .
Concludiamo che R −1 u = R −1 f e quindi che u = f . Dunque uε ⇀ f in V ∗ , sempre per la
sottosuccessione estratta. Ma la (5.8) implica che lim sup�uε�∗ ≤ �f�∗ . Per la Proposizione 4.5
concludiamo che la convergenza è forte e quindi che vale la prima delle (5.7). Per ottenere la
seconda, supponiamo f ∈ H e scegliamo v = uε nella seconda delle (5.6). Otteniamo subito
|uε| 2 + ε 2 �uε� 2 = (f, uε) da cui |uε| ≤ |f| (5.10)
imitando il ragionamento precedente. Ancora per il Teorema di compattezza debole, applicato ora
allo spazio H , abbiamo uε ⇀ u in H per una certa sottosuccessione e per un certo u ∈ H . Ma
ciò implica che uε ⇀ u in V ∗ e quanto abbiamo già dimostrato continua a valere. Dunque u = f
e tutta la famiglia {uε} , e non solo la sottosuccessione, converge a f debolmente in H . Lo stesso
ragionamento fatto sopra, appoggiato ora alla stima (5.10), mostra poi che la convergenza è forte.
Supponiamo infine f ∈ V . Siccome uε ∈ V , abbiamo anche Ruε = ε −2 (f − uε) ∈ V e possiamo
applicare R a tutti i termini dell’equazione (5.6). Otteniamo Ruε + ε 2 R(Ruε) = Rf , cioè che
Ruε è la soluzione della stessa equazione (5.6) quando f è sostituito da Rf . Allora, siccome
Rf ∈ V ∗ , possiamo applicare a Ruε e a Rf la prima delle (5.7) e concludere che Ruε → Rf
in V ∗ . Applicando R −1 , che è continuo, concludiamo che uε → f in V .
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Gianni Gilardi