G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
5.5. Definizione. Una terna hilbertiana è una terna (V, H, V ∗ ) verificante le condizioni seguenti:
i) V e H sono spazi di Hilbert e V ∗ è il duale di V ; ii) V è un sottospazio vettoriale
di H denso in H ; iii) l’immersione di V in H è continua; iv) H è identificato a un sottospazio
di V ∗ mediante la condizione seguente: il generico elemento u ∈ H denota anche il funzionale
v ↦→ (u, v) , v ∈ V .
Osserviamo che anche l’immersione di H in V ∗ è continua. Infatti, se c denota la norma
dell’immersione continua di V in H , abbiamo
|〈u, v〉| ≤ |u| |v| ≤ c|u| �v� da cui �u�∗ ≤ c|u| per ogni u ∈ H
e dimostreremo che H è denso in V ∗ . Dunque su V coesistono due topologie, la prima più fine
della seconda: quelle indotte dalla norma � · � e dalla restrizione a V della norma | · | . Allo stesso
modo su H coesistono due topologie, la prima più fine della seconda: quelle indotte dalla norma
| · | e dalla restrizione ad H della norma � · �∗ , duale in V ∗ della norma � · � . Notiamo infine
che la (5.4) con u = v ∈ V implica |v| 2 = (v, v) = 〈v, v〉 ≤ �v�∗ �v� . Concludiamo che
che è una disuguaglianza di tipo interpolazione.
|v| ≤ �v� 1/2
∗ �v� 1/2 per ogni v ∈ V (5.5)
5.6. Osservazione. Notiamo che nella costruzione della terna hilbertiana (V, H, V ∗ ) è in
qualche modo nascosta l’identificazione di H con H ∗ tramite l’isomorfismo RH di Riesz dello
spazio H . Infatti, se conserviamo la notazione I per l’immersione di H in V ∗ , vediamo che,
per u ∈ H , il funzionale Iu ∈ V ∗ coincide con la restrizione a V del funzionale RHu ∈ H ∗ .
Se dunque introduciamo l’applicazione di restrizione R : H ∗ → V ∗ data da f ↦→ f|V , abbiamo
I = R ◦ RH e l’iniettività e la continuità (già viste) di I seguono ora da quelle di RH e di R . Si
scrive dunque spesso V ⊆ H = H ∗ ⊆ V ∗ , l’uguaglianza essendo l’identificazione tramite RH e la
seconda inclusione essendo frutto dell’identificazione di H ∗ a un sottospazio di V ∗ tramite R .
Cogliamo anche l’occasione per osservare che non è lecito identificare V con V ∗ tramite
l’isomorfismo di Riesz RV di V , se non in situazioni estreme e sostanzialmente prive di interesse.
Infatti V , in quanto sottospazio di H , è già identificato ad un sottospazio di V ∗ e l’identificazione
di V con V ∗ tramite questo altro altro isomorfismo deve essere compatibile con quella già effettuata,
vale a dire, deve essere RV = I ◦ ι ove ι è l’immersione di V in H . Ma ciò implica, in
particolare, che ι sia suriettiva, data la suriettività di RV . Dunque V e H devono essere lo
stesso spazio vettoriale. Se poi c è la costante introdotta sopra, per ogni v ∈ V deve valere la
relazione �v� = �v�∗ ≤ c|v| , che unita alla disuguaglianza |v| ≤ c�v� implica che le due norme
� · � e | · | sono equivalenti. Dunque V e H devono avere anche la stessa topologia.
5.7. Esempio. Un esempio tipico di terna hilbertiana si ottiene prendendo H = L 2 (R d ) e
V = H k (R d ) con k > 0 . In tal caso, se R è l’isomorfismo di Riesz di V , l’equazione Ru = ϕ
con ϕ ∈ V ∗ assegnato è un’equazione alle derivate parziali in senso generalizzato. In particolare,
se ϕ ∈ H , si ottiene un’equazione “concreta”. Ricordiamo che in V si possono scegliere prodotti
scalari diversi da quello standard ma ad esso equivalenti. In tal caso l’equazione a derivate parziali
che si ottiene può avere coefficienti non costanti.
5.8. Perturbazioni singolari astratte. Sia (V, H, V ∗ ) una terna hilbertiana. Denotiamo con
R ∈ L(V ; V ∗ ) l’isomorfismo di Riesz dello spazio V e introduciamo un parametro ε > 0 che poi
faremo tendere a 0 . Per ogni f ∈ V ∗ consideriamo il problema di trovare uε ∈ V verificante
uε + ε 2 Ruε = f cioè (uε, v) + ε 2 ((uε, v)) = 〈f, v〉 per ogni v ∈ V (5.6)
ove (( · , · )) è il prodotto scalare di V . Usando il Corollario 1.23, vediamo immediatamente che il
problema considerato ha una e una sola soluzione. Infatti la forma aε : V × V → R definita dalla
Analisi Funzionale
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