G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
5.3. Osservazione. Senza alcun aggravio di ipotesi vediamo che tutta la successione {un} converge
a u . Anzi, la convergenza è forte. A tale scopo osserviamo che, per ogni n , se v ∈ Vn , si
ha un − v ∈ Vn , oltre a un − v ∈ V , e quindi
Segue allora
a(un − u, un − v) = a(un, un − v) − a(u, un − v) = 〈f, un − v〉 − 〈f, un − v〉 = 0.
α�un − u� 2 ≤ a(un − u, un − u) = a(un − u, un − v) + a(un − u, v − u)
= a(un − u, v − u) ≤ M�un − u� �v − u�
ove M è la norma della forma a . Deduciamo che
�un − u� ≤ M
α �v − u� per ogni v ∈ Vn da cui �un − u� ≤ M
α �Pnu − u� (5.2)
ove Pnu è la proiezione ortogonale di u sul sottospazio Vn . Ma, siccome la successione {Vn}
è non decrescente e la sua unione è densa in V , la successione {Pnu} converge fortemente a u
(Proposizione 2.9), da cui la convergenza forte a u anche della successione {un} .
5.4. Applicazione numerica. Descriviamo un’approssimazione numerica (con “elementi finiti
conformi”) di un problema ellittico del tipo descritto nell’Osservazione 1.26 in una situazione di
(Ω) e, in ipotesi di limitatezza ed ellitticità uniforme
coercività: prendiamo dunque H = H1 0
sulla matrice A , scegliamo b = 0 e c = 0 . Stiamo pertanto abbinando la condizione al bordo
(di “Dirichlet omogenea”) u|∂Ω = 0 all’equazione − div(A∇u) = f (diciamo f ∈ L2 (Ω) ). Supponiamo
inoltre che Ω sia un poligono di R2 e ad ogni h ∈ (0, 1) associamo una famiglia finita Th
(“triangolazione” di Ω ) di sottoinsiemi di Ω verificante le condizioni seguenti: i) ogni T ∈ Th
è un triangolo aperto e l’unione delle chiusure dei T ∈ Th è Ω ; ii) le chiusure di due triangoli
Ti ∈ Th non disgiunte hanno in comune esattamente un lato oppure un vertice dei Ti ; iii) tutti i
lati di ogni T ∈ Th hanno lunghezza ≤ h . A Th associamo il sottospazio Vh (di dimensione finita)
di H costituito dalle funzioni v ∈ H le cui restrizioni v|T sono polinomi di grado ≤ 1 per ogni
T ∈ Th . Anche se non siamo nella situazione della successione crescente {Vn} ipotizzata sopra,
abbiamo: i) il problema approssimato, detto “discreto”, ottenuto rimpiazzando H con Vh ha una
e una sola soluzione uh (stessa dimostrazione); ii) vale l’analoga della (5.2) (stessa dimostrazione)
e da qui si può dedurre (non banale) che la famiglia {uh} converge fortemente in H1 (Ω) alla
soluzione u del problema “continuo” per h → 0 se la famiglia {Th} di triangolazioni verifica la
condizione seguente di “non assottigliamento”: esiste α > 0 tale che, per ogni h e ogni T ∈ Th ,
tutti gli angoli di T hanno ampiezza ≥ α . Questo metodo ha i pregi seguenti: i) si presta a
metodi di triangolazione automatica; ii) è facile scegliere una base {wi, . . . , wm} di Vh in modo
che la matrice associata al problema discreto sia facilmente calcolabile e sparsa (cioè a prevalenza
di elementi nulli). Siano infatti yi , i = 1, . . . , m , i vertici dei triangoli di Th che non stanno
su ∂Ω . Per i = 1, . . . , m definiamo allora: wi è l’unica funzione di Vh che verifica wi(yj) = δij
(Kronecker).
L’applicazione successiva necessita di una costruzione preliminare: la cosiddetta terna hilbertiana.
Siano V e H due spazi di Hilbert reali. Usiamo le notazioni abbreviate seguenti:
� · � = � · �V , | · | = � · �H , ( · , · ) = ( · , · )H e 〈 · , · 〉 = V ∗〈 · , · 〉V . (5.3)
Si supponga ora che: i) V sia un sottospazio vettoriale di H denso in H ; ii) l’immersione di
V in H sia continua, il che equivale all’esistenza di una costante c tale che |v| ≤ c�v� per ogni
v ∈ V . Allora, se u ∈ H e v ∈ V , si ha |(u, v)| ≤ |u| |v| ≤ c|u| �v� , per cui il funzionale lineare
Iu : V → R che a v ∈ V associa (u, v) è continuo, cioè appartiene a V ∗ . Inoltre l’applicazione
I : H → V ∗ che a ogni u ∈ H associa Iu è lineare e iniettiva, l’iniettività essendo vera perché
Iu = 0 implica che u sia ortogonale a V in H e dunque sia nullo, data la densità di V in H .
Quindi possiamo interpretare I come un’immersione, cosa che facciamo, e abbiamo
〈u, v〉 = (u, v) per ogni u ∈ H e v ∈ V . (5.4)
Risulta pertanto giustificata la definizione seguente, nella quale le notazioni (5.3) sono in vigore.
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Gianni Gilardi