G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

cioè la successione {xk,k} converge debolmente a y .
Spazi di Hilbert
Diamo due applicazioni del Teorema di compattezza debole mettendoci in ambito reale per
semplicità. La prima è una dimostrazione diversa di una parte del Teorema di Lax-Milgram, valida
in un caso particolare; la seconda è una tecnica di regolarizzazione di tipo astratto.
5.2. Applicazione. Supponendo lo spazio di Hilbert H separabile, dimostriamo in altro modo
la parte del Teorema 1.24 di Lax-Milgram riguardante l’esistenza. Nell’ipotesi fatta vale la proprietà
seguente (si veda ad esempio la dimostrazione del Teorema 2.22):
esiste una successione non decrescente {Vn} di sottospazi
di dimensione finita la cui unione è densa in H .
Il procedimento che utilizziamo è detto metodo di Faedo-Galerkin ed è usato spesso sia per scopi
teorici in vista di risultati di esistenza sia nelle applicazioni di tipo numerico, eventualmente in
qualche forma variata, ad esempio senza l’ipotesi di monotonia della successione di sottospazi
oppure con una famiglia di sottospazi dipendenti da un parametro reale anziché intero.
Seguendo le notazioni del Teorema 1.24, introduciamo la successione di problemi appossimati
seguenti: per n fissato, trovare un ∈ Vn che verifica
a(un, v) = 〈f, v〉 per ogni v ∈ Vn . (5.1)
L’esistenza di una soluzione del problema (1.8) si ottiene sviluppando i passi seguenti: i) il problema
approssimato (5.1) ha almeno un soluzione un (unica in realtà); ii) la successione {un} è
limitata e, di conseguenza, ha una sottosuccessione debolmente convergente; iii) il limite debole
di cui al punto precedente risolve il problema (1.8).
Risolviamo il problema (5.1) presentandolo nella forma di sistema lineare. Siccome n è fissato,
non sempre evidenziamo la dipendenza da n di certe quantità. Posto m = dim Vn , sia
{w1, . . . , wm} una base di Vn . Le “vere incognite” del problema sono allora i coefficienti λj della
rappresentazione della soluzione un nella forma un = � m
j=1 λjwj . La (5.1) diventa
n�
aijλj = 〈f, wi〉 per i = 1, . . . , m
j=1
ove abbiamo posto aij = a(wj, wi) per i, j = 1, . . . , m . Infatti è equivalente richiedere la (5.1) per
ogni v ∈ Vn oppure solo per gli elementi della base. Per dimostrare che il sistema lineare ottenuto
è risolubile, verifichiamo che la matrice A = (aij) è definita positiva. Sia dunque ξ ∈ R m non
nullo. Posto v = �m j=1 ξjwj , si ha v �= 0 da cui
ξ T m�
m�
A ξ = aij ξjξi = a(ξjwj, ξiwi) = a(v, v) ≥ α�v� 2 > 0.
i,j=1
i,j=1
Allora la matrice A è anche invertibile e il problema (5.1) ha una e una sola soluzione. Passiamo
a ii) , che è immediato. Per ogni n abbiamo infatti
α�un� 2 ≤ a(un, un) = 〈f, un〉 ≤ �f�∗ �un� da cui �un� ≤ 1
α �f�∗
per cui il Teorema 5.1 di compattezza debole assicura l’esistenza di una sottosuccessione {unk }
convergente debolmente a un certo u ∈ H . Dimostriamo allora quanto affermato in iii) : l’elemento
u risolve la (1.8). Sia dapprima v appartenente all’unione dei sottospazi Vn . Sia allora n0 tale
che v ∈ Vn0 e sia k0 tale che nk0 ≥ n0 . Allora Vnk ⊇ Vn0 se k ≥ k0 e possiamo scrivere
a(unk , v) = 〈f, v〉 per ogni k ≥ k0 da cui a(u, v) = 〈f, v〉
per definizione di convergenza debole, in quanto l’applicazione z ↦→ a(z, v) di H in R è un
funzionale lineare e continuo su H . Sia ora v ∈ H . Siccome l’unione dei Vn è densa, possiamo
trovare una successione {vi} di elementi di tale unione che converge (fortemente, e basterebbe
debolmente) a v . Abbiamo allora
a(u, vi) = 〈f, vi〉 per ogni i da cui a(u, v) = 〈f, v〉
cioè u risolve (1.8).
Analisi Funzionale
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