G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
4.18. Esercizio. Siano f : R → R di classe C 2 tale che f(t) = O(|t|) per |t| → +∞ e
p ∈ [1, +∞) . Si dimostri che la formula (F (v))(x) = f(v(x)) per q.o. x ∈ (0, 1) definisce
un’applicazione F di L p (0, 1) in sé continua. Si supponga inoltre che f non sia un polinomio di
grado ≤ 1 e si costruisca una successione {vn} di elementi di L p (0, 1) che converge debolmente
a una certa v in tale spazio tale che la successione corrispondente {F (vn)} non converga a F (v)
in L p (0, 1) . Ciò mostra che F è sequenzialmente continua rispetto alle convergenze deboli solo
nel caso in cui f è un polinomio di grado ≤ 1 . Si consiglia di sfruttare la formula di Taylor per
f vicino a un punto t0 in cui f ′′ (t0) �= 0 e i due esercizi precedenti.
Notiamo che, spesso, ad esempio in situazioni simili a quelle dell’Esercizio 4.16, si ha convergenza
debole in L p (Ω) ma non convergenza q.o. Ciò nonostante i due tipi di convergenza sono
“compatibili”, come afferma il risultato che enunciamo di seguito senza dimostrazione.
4.19. Proposizione. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e 1 ≤ p < +∞ . Se
allora u = v q.o.
un ⇀ u in L p (Ω) e lim
n→∞ un(x) = v(x) q.o.
5. Compattezza debole sequenziale negli spazi di Hilbert
Più avanti dimostreremo che, addirittura in un generico spazio normato, ogni successione debolmente
convergente è limitata. Qui dimostriamo, limitatamente al caso hilbertiano, che ogni successione
limitata ha una sottosuccessione debolmente convergente. Abbiamo infatti il seguente
5.1. Teorema (di compattezza debole sequenziale). Siano H uno spazio di Hilbert. Allora
da ogni successione {xn} limitata di elementi di H si può estrarre una sottosuccessione debolmente
convergente a un punto di H .
Dimostrazione. Sia {xn} la successione in questione e sia M ≥ 0 tale che �xn� ≤ M per ogni n .
Usiamo, come nella dimostrazione del Teorema di Ascoli, il metodo diagonale di Cantor. Osserviamo preliminarmente
che, per ogni n fissato, si ha |(xn, xk)| ≤ �xn� �xk� ≤ M 2 per ogni k , per cui si può
applicare il Teorema di Bolzano-Weierstrass a ciascuna di tali successioni e, ovviamente, anche a ogni sottosuccessione
eventualmente estratta. Allora, procedendo ricorsivamente, si estraggono dalla successione data
infinite sottosuccessioni {x1,k} , {x2,k} . . . , ciascuna essendo sottosuccessione della precedente, in modo che
tutti i limiti limk→∞(xn, xn,k) esistano finiti. Consideriamo allora la successione {xk,k} : questa è una
sottosuccessione della successione data e, a meno di un numero finito di termini, anche una sottosuccessione
di ciascuna delle estratte, così che, per ogni n , il limite limk→∞(xn, xk,k) esiste finito. Introduciamo i
funzionali fk ∈ H ∗ definiti da 〈fk, x〉 = (x, xk,k) per x ∈ H e l’insieme S = {x1, x2, . . .} immagine della
successione {xn} , osservando che �fk�∗ = �xk,k� ≤ M . Per costruzione, la successione {〈fk, x〉} converge
se x ∈ S . La stessa cosa avviene allora se x ∈ span S dato che ogni fk è lineare. Posto H0 = span S ,
la chiusura di span S , sia x ∈ H0 . Verifichiamo che anche in questo caso {〈fk, x〉} converge. Fissiamo
ε > 0 . Allora esiste y ∈ span S tale che �x − y� ≤ ε . Per k, m arbitrari abbiamo
|〈fk, x〉 − 〈fm, x〉| ≤ |〈fk, x − y〉| + |〈fk, y〉 − 〈fm, y〉| + |〈fm, y − x〉| ≤ 2Mε + |〈fk, y〉 − 〈fm, y〉|.
Siccome la successione {〈fk, y〉} converge dato che y ∈ span S , essa è di Cauchy e l’ultimo addendo
della catena scritta è ≤ ε per k, m abbastanza grandi. Ciò mostra che anche {〈fk, x〉} è di Cauchy e
quindi convergente. Sia infine x ∈ H . Dette x ′ e x ′′ le sue proiezioni su H0 e H⊥ 0 , abbiamo subito
〈fk, x〉 = 〈fk, x ′ 〉 + 〈fk, x ′′ 〉 = 〈fk, x ′ 〉 + (x ′′ , xk,k) = 〈fk, x ′ 〉 dato che xk,k ∈ S ⊆ H0 . Dunque {〈fk, x〉}
converge. A questo punto ha senso porre f(x) = limk→∞〈fk, x〉 per x ∈ H . Si vede immediatamente che
f è lineare. Inoltre f è anche limitato in quanto |f(x)| ≤ M�x� dato che l’analoga disuguaglianza vale
per tutti gli fk . Per il Teorema 1.21 di Riesz esiste dunque y ∈ H tale che 〈f, x〉 = (x, y) per ogni x ∈ H .
Abbiamo allora
lim
k→∞ (x, xk,k) = lim
k→∞ 〈fk, x〉 = 〈f, x〉 = (x, y) per ogni x ∈ H
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Gianni Gilardi