G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
4.6. Osservazione. Notiamo che l’unicità del limite debole e la (4.4) nel caso degli spazi normati
non sono affatto ovvie, anche in ipotesi di completezza. Tuttavia esse sono vere, come vedremo in
seguito. Al contrario, l’ultima affermazione della Proposizione 4.5 è falsa nel caso di un generico
spazio normato, anche in ipotesi di completezza. Essa vale per una classe particolare di spazi
normati, che comprende, ad esempio, gli spazi L p (Ω) e W k,p (Ω) , purché p ∈ (1, +∞) .
4.7. Proposizione. Siano V e W due spazi normati e L ∈ L(V ; W ) e si supponga che xn ⇀ x
in V . Allora Lxn ⇀ Lx in W .
Dimostrazione. Sia f ∈ W ∗ . Allora f ◦ L ∈ V ∗ . Deduciamo che
Quindi Lxn ⇀ Lx in W .
lim
n→∞ 〈f, Lxn〉 = lim
n→∞ 〈f ◦ L, xn〉 = 〈f ◦ L, x〉 = 〈f, Lx〉.
4.8. Corollario. Siano V e W due spazi normati tali che V ⊆ W con immersione continua.
Allora xn ⇀ x in V implica xn ⇀ x in W .
4.9. Esercizio. Se xn ⇀ x e yn ⇀ y allora αxn + βyn ⇀ αx + βy per ogni α, β ∈ K .
4.10. Esercizio. Si dimostri che, se Ω è un aperto limitato di R d , la convergenza debole in
C 0 (Ω) implica la convergenza puntuale allo stesso limite.
4.11. Esercizio. Sia (V1, . . . , VN) una N -upla di spazi normati e sia V il loro prodotto. Siano
poi {xn = (x 1 n, . . . , x N n )} una successione di elementi di V e x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ V . Dimostrare
che {xn} converge debolmente a x in V se e solo se {x i n} converge debolmente a x i in Vi per
i = 1, . . . , N .
4.12. Esercizio. Siano V uno spazio normato, {xn} una successione di elementi di V e x ∈ V .
Si supponga la successione limitata in V e che esista un sottoinsieme S ∗ ⊆ V ∗ denso in V ∗ tale che
Si dimostri che xn ⇀ x in V .
lim
n→∞ 〈f, xn〉 = 〈f, x〉 per ogni f ∈ S∗ .
4.13. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e 1 ≤ p < +∞ . Si dimostri che
un ⇀ u in Lp �
�
(Ω) se e solo se lim
n→∞
un v dµ =
Ω
u v dµ
Ω
per ogni v ∈ Lp′ (Ω) (4.6)
ove p ′ è l’esponente coniugato di p .
4.14. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e p, q, r ∈ [1, +∞) tali che
1/r = 1/p + 1/q . Si dimostri che, se un ⇀ u in L p (Ω) e ϕ ∈ L q (Ω) , allora unϕ ⇀ uϕ in L r (Ω) .
4.15. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e p ∈ [1, +∞) . Si supponga
che un ⇀ u e vn ⇀ v in L p (Ω) e che un ≤ vn q.o. per ogni n . Si dimostri che u ≤ v q.o.
4.16. Esercizio. Siano p ∈ [1, +∞) e u ∈ L p (0, 1) . Sia inoltre λ la media di u in (0, 1) .
Sia infine �u : R → K il prolungamento 1 -periodico di u , cioè la funzione definita (q.o.) dalla
formula �u(x) = u(x − [x]) ove [ · ] è la parte intera. Si dimostri che �u(nx) ⇀ λ in L p (a, b)
per ogni intervallo limitato (a, b) . In particolare la convergenza debole in L p non implica la
convergenza q.o. Si consiglia di tener conto degli esercizi precedenti e di considerare i casi seguenti:
i) p ∈ (1, +∞) e λ = 0 ; ii) p ∈ (1, +∞) e λ qualunque; iii) p = 1 e λ qualunque.
4.17. Esercizio. Si dimostri che valgono le convergenze deboli sin nx ⇀ 0 e sin 2 nx ⇀ 1/2 in
L p (a, b) per ogni p ∈ [1, +∞) e ogni intervallo (a, b) limitato.
Analisi Funzionale
89