G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
4.1. Definizione. Sia V uno spazio normato. Diciamo che una successione {xn} di elementi
di V converge debolmente all’elemento x ∈ V , e scriviamo xn ⇀ x in V , quando
lim
n→∞ 〈f, xn〉 = 〈f, x〉 per ogni f ∈ V ∗ .
La convergenza xn → x indotta dalla norma è detta anche convergenza forte in V .
4.2. Osservazione. Se si riprende l’Esempio III.3.1 e si tiene conto del Teorema 1.21 di Riesz,
si vede immediatamente che
i) se dim V < +∞ xn ⇀ x se e solo se xn → x ; (4.1)
ii) se V = H è uno spazio di Hilbert xn ⇀ x se e solo se
lim
n→∞ (xn, y) = (x, y) per ogni y ∈ H. (4.2)
4.3. Proposizione. Siano V uno spazio normato, {xn} una successione di elementi di V e
x ∈ V . Allora xn → x implica xn ⇀ x .
Dimostrazione. Se f ∈ V ∗ abbiamo infatti |〈f, xn〉 − 〈f, x〉| ≤ �f�∗�xn − x� e concludiamo.
Nel caso degli spazi di dimensione infinita le convergenze debole e forte sono diverse nella
maggior parte delle situazioni importanti nelle applicazioni. Tuttavia abbiamo che
la convergenza debole in ℓ 1 coincide con la convergenza forte (4.3)
ma la dimostrazione di questo fatto, diciamo anomalo, non è immediata. Nel caso degli spazi di
Hilbert di dimensioni infinita le convergenze debole e forte sono sicuramente diverse, come afferma il
risultato enunciato di seguito. Quello successivo fornisce poi informazioni sulla convergenza debole
e una condizione sufficiente per la convergenza forte, sempre relativamente al caso hilbertiano.
4.4. Proposizione. Sia H uno spazio di Hilbert di dimensione infinita. Allora ogni successione
{en} ortonormale converge debolmente a 0 e le nozioni di convergenza debole e di convergenza
forte sono diverse.
Dimostrazione. Per ogni v ∈ H la serie � ∞
n=1 |(en, v)| 2 converge per la disuguaglianza (2.11) di Bessel.
Segue che la successione {(en, v)} è infinitesima, e ciò dimostra la prima tesi. La seconda parte segue
dall’esistenza di una successione ortonormale, garantita dalla Proposizione 2.21 in ogni spazio di Hilbert di
dimensione infinita, e dalla prima, in quanto {en} non converge fortemente a 0 .
4.5. Proposizione. Sia H uno spazio di Hilbert. Se xn ⇀ x e xn ⇀ y in H , allora x = y ,
cioè il limite debole è unico. Inoltre
xn ⇀ x implica �x� ≤ lim inf
n→∞ �xn�. (4.4)
Infine, se
xn ⇀ x
allora si ha la convergenza forte xn → x .
e lim sup�xn�
≤ �x�
n→∞
(4.5)
Dimostrazione. Le due convergenze deboli implicano
�x − y� 2 = (x, x − y) − (y, x − y) = lim
n→∞ (xn, x − y) − lim
n→∞ (xn, x − y) = 0
da cui x = y . Inoltre, se xn ⇀ x , si ha
�x� 2 = (x, x) = lim
n→∞ (xn, x) = lim inf
n→∞ (xn, x) ≤ lim inf
n→∞ �xn� �x� = �x� lim inf
n→∞ �xn�
e quindi la (4.4). Passiamo all’ultima affermazione. Valga la (4.5). Tenendo conto della (4.4) appena
dimostrata, abbiamo �x� = limn→∞�xn� . Quindi, usando la formula del binomio, otteniamo
lim
n→∞ �x − xn� 2 = �x� 2 + lim
n→∞ �xn� 2 − 2 lim
n→∞ Re(xn, x) = �x� 2 + �x� 2 − 2 Re(x, x) = 0
cioè la convergenza forte.
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Gianni Gilardi