G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
Ω tali che le palle B2r(xn) siano incluse in Ω e mutuamente disgiunte e fissiamo ζ ∈ C ∞ c (R d )
positiva nella palla B1(0) e nulla altrove. Definiamo vn : Ω → R ponendo vn(x) = ζ((x − xn)/r) ,
così che vn(x) = 0 se x ∈ Ω \ Br(xn) . Allora vn ∈ C ∞ c (Ω) ⊂ W 1,p (Ω) e, posto M = �ζ�p e
M1 = �∇ζ�p , valgono le uguaglianze
�vn� p p = r d M p , �∇vn� p p = r d−p M p
1 e �vn − vm� p p = 2r d M p
(n �= m). (3.8)
Dunque {vn} è limitata in W 1,p (Ω) ma non può avere sottosuccessioni di Cauchy in L p (Ω) .
Per quanto riguarda la regolarità, lasciamo a un esercizio successivo la discussione di un caso
analogo a quello dell’Esempio 3.18 e, supponendo Ω limitato, mostriamo che condizione necessaria
perché valga la tesi del Teorema 3.20 è che Ω abbia un numero finito di componenti connesse (fatto
vero per gli aperti limitati e lipschitziani e falso in generale). Per assurdo esista una successione
{Ωn} costituita da componenti connesse di Ω (necessariamente limitate dato che Ω è limitato).
Poniamo vn = |Ωn| −1/pχ n ove | · | è la misura di Lebesgue e χ n è la funzione caratteristica di Ωn .
Allora �vn�p = 1 , ∇vn = 0 e �vn − vm� p p = 2 per n �= m , per cui, anche in questo caso, {vn} è
limitata in W 1,p (Ω) e non ha sottosuccessioni di Cauchy in L p (Ω) .
3.22. Esercizio. Verificare i calcoli delle norme dell’osservazione precedente.
3.23. Esercizio. Si dimostri che l’equicontinuità dei limitati di C 1 (Ω) segue ancora se, in sostituzione
della (3.7), imponiamo l’esistenza di una funzione µ : [0, +∞) → [0, +∞) tale che
lim
t→0 + µ(t) = 0 e dΩ(x, y) ≤ µ(|x − y|) per ogni x, y ∈ Ω . (3.9)
3.24. Esercizio. Si svolgano i punti seguenti: i) si verifichi che la (3.7) implica la (3.9);
ii) si costruiscano esempi di aperti connessi limitati Ω ⊂ R 2 che verificano la (3.9) ma non
la (3.7); iii) si verifichi direttamente che la (3.9) non è soddisfatta nel caso dell’aperto “a pettine”
dell’Esempio 3.18, ma che la distanza geodetica dΩ : Ω 2 → R è una funzione limitata in quel
caso; iv) si costruiscano esempi di aperti connessi e limitati (ad esempio “a spirale” oppure “molto
serpeggianti”) che non verificano la (3.9) e nei quali dΩ non è una funzione limitata.
3.25. Esercizio. Si costruisca l’aperto “a pettine” (analogo a quello dell’Esempio 3.18 ma più
semplice per quanto riguarda i calcoli) come segue:
∞�
Ω = Dn ove D0 = (0, 1) × (−1, 0) e
�
1 1
�
Dn = , × [0, 1)
2n + 1 2n
per n > 0 .
n=0
Supponendo p ∈ [1, +∞) , si dimostri che, con tale Ω , la tesi del Teorema 3.20 è falsa sviluppando
la traccia seguente: per ogni n > 0 intero, si definisca un : Ω → R ponendo un(x) = cnx2 se
x ∈ Dn e u(x) = 0 altrimenti, ove cn > 0 è un parametro a disposizione.
4. La convergenza debole in uno spazio normato
Riprendiamo il discorso che ha iniziato il paragrafo precedente. Per aggirare l’ostacolo occorre
sostituire la topologia indotta dalla norma con una topologia meno fine, in modo da aumentare la
classe delle successioni convergenti. Naturalmente un’operazione di questo tipo fa diminuire sia la
classe dei chiusi sia quella delle funzioni continue e quindi ha un rovescio della medaglia: ipotesi di
chiusura e di continuità diventano restrittive. Vedremo però che si riesce a trovare un compromesso
soddisfacente. Ora, tuttavia, ci limitiamo a parlare di convergenza anziché di topologia. Vediamo
come si può procedere considerando il caso generale degli spazi normati.
Siccome il caso della dimensione finita va bene così com’è, partiamo da questo. Se {xn} è una
successione di elementi di R N , essa converge al punto x ∈ R N se e solo se, per i = 1, . . . , N , la
successione delle coordinate i -esime degli elementi xn converge alla coordinata i -esima di x . Una
condizione equivalente a questa è la seguente: per ogni y ∈ R N , la successione delle “componenti”
xn · y secondo il vettore y converge alla corrispondente componente x · y . Nel caso di un generico
spazio normato V le componenti xn · y e x · y possono essere ragionevolmente sostituite dai
prodotti di dualità 〈f, xn〉 e 〈f, x〉 , ove f varia nel duale.
Analisi Funzionale
87