G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
3.17. Esercizio. Si ponga Ω = ∪ ∞ k=1 (x2k+1, x2k) , ove in generale xk = 1/k , e, per n = 1, 2, . . . ,
si definisca vn : Ω → R mediante vn(x) = 0 se x > xn e v(x) = 1 altrimenti. Si verifichi che
{vn} è limitata in C 1 (Ω) ma non equicontinua.
3.18. Esempio. Si consideri l’aperto “a pettine” Ω = {(x, y) ∈ (0, 1) × (−1, 1) : y < sin 2 (π/x)}
e, per n = 1, 2, . . . , si definisca vn : Ω → R con le formule vn(x, y) = y 2 se 1/(n + 1) < x < 1/n
e y > 0 (cioè nell’ n -esimo dente del pettine) e vn(x, y) = 0 altrimenti. Allora, per ogni n , si ha
vn ∈ C 1 (Ω) , �vn�∞ = 1 e �∇vn�∞ = 2 , per cui {vn} è limitata in C 1 (Ω) . D’altra parte {vn}
converge puntualmente alla funzione nulla. Siccome la convergenza uniforme implica la convergenza
puntuale allo stesso limite, deduciamo che {vn} non ha sottosuccessioni convergenti uniformemente
e quindi, per il Teorema di Ascoli, che essa non è equicontinua. Si noti che Ω è, oltre che limitato,
anche connesso, a differenza dell’aperto dell’esercizio precedente. Si noti inoltre che, se avessimo
scelto la formula vn(x, y) = exp(−1/y) anziché vn(x, y) = y 2 nella definizione di vn , avremmo
ottenuto una successione limitata in ciascuno degli spazi C k (Ω) ma ancora non equicontinua.
3.19. Osservazione. L’esercizio e l’esempio precedenti mostrano che l’ipotesi di convessità fatta
su Ω nell’Esempio 3.16 può, al più, essere indebolita in qualche modo, ma non soppressa: il risultato
continua ad essere vero se Ω è connesso e sufficientemente regolare. Quanto basta è la condizione
che ora presentiamo. Per x, y ∈ Ω introduciamo la loro distanza geodetica
�� 1
dΩ(x, y) = inf
0
|r ′ (t)| dt : r : [0, 1] → Ω di classe C1 �
con r(0) = x e r(1) = y . (3.6)
Questa misura la lunghezza “minima” (virgolette d’obbligo perché, di solito, l’estremo inferiore
non è un minimo) che si può percorrere per andare da x a y restando in Ω . Supponiamo ora
v ∈ C 1 (Ω) . Allora, se x, y ∈ Ω e r è come nella (3.6), abbiamo
��
1
� d
� ��
1
� �
|v(x) − v(y)| = � v(r(t)) dt�
= � ∇v(r(t)) · r
dt ′ � � 1
�
(t) dt�
≤ �∇v�∞ |r ′ (t)| dt
0
0
da cui |v(x) − v(y)| ≤ �∇v�∞ dΩ(x, y) . Dunque, pensando a v che varia in un limitato F
di C 1 (Ω) , deduciamo ancora l’equicontinuità di F se Ω verifica la condizione
esiste una costante M tale che dΩ(x, y) ≤ M|x − y| per ogni x, y ∈ Ω . (3.7)
La (3.7) è banalmente verificata se Ω è convesso, è vera per ogni poligono del piano (dunque anche
non convesso e in tal caso M dipende dall’ampiezza degli angoli rientranti) e vale, in generale, se
Ω è connesso e sufficientemente regolare.
Segnaliamo un’importante variante L p di risultati di questo tipo:
3.20. Teorema (di Rellich-Kondrachov). Se Ω è un aperto limitato e lipschitziano di R d e
p ∈ [1, +∞] , allora ogni limitato di W 1,p (Ω) è relativamente compatto in L p (Ω) .
Il caso p = +∞ si riconduce al Teorema di Ascoli grazie all’identità W 1,∞ (Ω) = C 0,1 (Ω) ,
valida se Ω è limitato e lipschitziano. Nel caso p < +∞ la dimostrazione classica si basa su una
variante del Teorema di Ascoli per gli spazi L p (Ω) che caratterizza i sottoinsiemi relativamente
compatti di L p (Ω) (Teorema di Riesz-Fréchet-Kolmogorov).
3.21. Osservazione. Notiamo che la tesi del Teorema di Rellich-Kondrachov è in generale falsa
senza le due ipotesi di limitatezza e di regolarità fatte su Ω (queste potrebbero essere indebolite,
ma non omesse). Considerando il caso p < +∞ , mostriamo che il risultato è falso per tutti gli
aperti non limitati interessanti nelle applicazioni, quali l’intero spazio, un semispazio, una striscia.
Per ciascuno dei tre casi, infatti, possiamo costruire un limitato di W 1,p (Ω) che non è relativamente
compatto in L p (Ω) . A tal fine basta costruire una successione {vn} limitata in W 1,p (Ω) che non
ha sottosuccessioni convergenti in L p (Ω) . Scegliamo r > 0 e una successione {xn} di punti di
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Gianni Gilardi