G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
infinitesima. Prendendo δ = δn per n = 1, 2, . . . , costruiamo una successione {vn} di elementi di F e due
successioni {xn} e {yn} di elementi di S tali che d(xn, yn) ≤ δn e |vn(xn) − vn(yn)| ≥ ε per ogni n ≥ 1 .
Ma F è relativamente compatto per ipotesi. Dunque da {vn} possiamo estrarre una sottosuccessione convergente
in C(S) a una certa funzione v ∈ C(S) . Per non complicare le notazioni, continuiamo a denotare
con {vn} anche la sottosuccessione estratta. Ora usiamo la compattezza dello spazio metrico S : da {xn}
estraiamo una sottosuccessione {xnk } convergente a un certo punto x0 di S . Siccome d(xn, yn) ≤ δn per
ogni n , anche la corrispondente sottosuccessione {ynk } converge a x0 . Ora per ogni k abbiamo
ε ≤ |vnk (xnk ) − vnk (ynk )|
≤ |vnk (xnk ) − v(xnk )| + |v(xnk ) − v(x0)| + |v(x0) − v(ynk )| + |v(ynk ) − vnk (ynk )|
≤ 2�vnk − v�∞ + |v(xnk ) − v(x0)| + |v(x0) − v(ynk )|.
Ma l’ultimo membro è infinitesimo per k → ∞ , assurdo.
Viceversa, supponendo F equicontinuo, dobbiamo dimostrare la sua relativa compattezza. Fissiamo
pertanto una qualunque successione {vn} di elementi di F e costruiamo una sua sottosuccessione convergente
in C(S) . A tale scopo fissiamo un sottoinsieme D ⊆ S denso al più numerabile, che esiste grazie al
lemma, e usiamo il procedimento diagonale di Cantor. Ricordando che F è un limitato di C(S) , fissiamo
una costante M tale che �v�∞ ≤ M per ogni v ∈ F . Allora �vn�∞ ≤ M per ogni n . In particolare, per
ogni z ∈ D , la successione {vn(z)} è una successione di scalari limitata. Dunque si può applicare il Teorema
di Bolzano-Weierstrass a ciascuna di tali successioni e, ovviamente, anche a ogni sottosuccessione eventualmente
estratta. Allora, presentato provvisoriamente D come immagine di una successione {zm} (senza
ipotesi di iniettività, in modo da comprendere il caso, anche se banale, in cui D sia finito) e procedendo
ricorsivamente, si estraggono dalla successione data infinite sottosuccessioni {x1,k} , {x2,k} . . . , ciascuna
essendo sottosuccessione della precedente, in modo che tutti i limiti limk→∞ vm,k(zm) esistano finiti. Consideriamo
allora la successione {vk,k} : questa è una sottosuccessione della successione data e, a meno di
un numero finito di termini, anche una sottosuccessione di ciascuna delle estratte, così che, per ogni m , il
limite limk→∞ vk,k(zm) esiste finito. Abbandonata la notazione riguardante l’insieme D abbiamo pertanto
che il limite limk→∞ vk,k(z) esiste finito per ogni z ∈ D . Quella così costruita è la sottosuccessione che
andavamo cercando: dimostriamo che essa converge in C(S) . A tale scopo dimostriamo che essa è di Cauchy
in C(S) . Fissiamo dunque ε > 0 ed eseguiamo un lavoro preliminare. Scelto δ > 0 come nella definizione
di equicontinuità, in particolare tale che |vk,k(x)−vk,k(y)| ≤ ε per ogni k e per ogni coppia di punti x, y ∈ S
verificanti d(x, y) ≤ δ , ricopriamo S con un numero finito di palle B δ/2(xi) , i = 1, . . . , p . Siccome D è
denso, la palla B δ/2(xi) contiene un punto di D , che denotiamo con zi . Fatto ciò costruiamo k ∗ tale che
�vk,k − vk ′ ,k ′�∞ ≤ ε per ogni k, k ′ ≥ k ∗ . Osservato che la successione {vk,k(zi)} è di Cauchy, in quanto
convergente, sia k ∗ i tale che |vk,k(zi) − vk ′ ,k ′(zi)| ≤ ε per ogni k, k ′ ≥ k ∗ i . Poniamo k∗ = maxi=1,...,p k ∗ i
e finalmente concludiamo. Siano k, k ′ ≥ k ∗ e x ∈ S ad arbitrio. Scelto i tale che x ∈ B δ/2(xi) , essendo
anche zi ∈ B δ/2(xi) , abbiamo d(x, zi) < δ , da cui
|vk,k(x) − vk ′ ,k ′(x)| ≤ |vk,k(x) − vk,k(zi)| + |vk,k(zi) − vk ′ ,k ′(zi)| + |vk ′ ,k ′(zi) − vk ′ ,k ′(x)| ≤ 3ε.
Per l’arbitrarietà di x deduciamo che �vk,k − vk ′ ,k ′�∞ ≤ 3ε per ogni k, k ′ ≥ k ∗ . Quindi la sottosuccessione
costruita è di Cauchy in C(S) , di conseguenza convergente in tale spazio, grazie alla completezza.
3.14. Esercizio. Dedurre che, per un sottoinsieme F ⊂ C(S) , sono equivalenti le condizioni:
i) F è compatto; ii) F è chiuso, limitato ed equicontinuo.
3.15. Esercizio. Rivedere l’Esempio 3.1 alla luce del Teorema di Ascoli.
3.16. Esempio. Sia Ω un aperto limitato e convesso di R d . Allora ogni sottoinsieme F limitato
di C 1 (Ω) è relativamente compatto in C 0 (Ω) . Innanzi tutto F è limitato anche in C 0 (Ω) .
Verifichiamo l’equicontinuità. Lasciando al lettore l’estensione al caso complesso, consideriamo il
caso degli spazi reali e osserviamo che, per ogni coppia di punti x, y ∈ Ω , grazie al Teorema del
valor medio di Lagrange e alla convessità di Ω , esiste un punto z sul segmento di estremi x e y
tale che v(x) − v(y) = ∇v(z) · (x − y) . Abbiamo pertanto |v(x) − v(y)| ≤ �∇v�∞|x − y| . Siccome
F è limitato in C 1 (Ω) , esiste L tale che �∇v�∞ ≤ L per ogni v ∈ F , cosi che F è equicontinuo
per l’Esempio 3.10. Dunque F è relativamente compatto in C 0 (Ω) per il Teorema di Ascoli.
Analisi Funzionale
85