G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
Per meglio chiarire la dimostrazione del teorema che ci accingiamo a presentare premettiamo
qualche considerazione generale sul cosiddetto procedimento o metodo diagonale di Cantor, il quale
torna utile in più di una situazione. Ricordiamo inoltre due proprietà degli spazi metrici compatti.
3.11. Il procedimento diagonale. Immaginiamo di avere una successione {xn} di oggetti di
natura qualunque e di estrarre da questa una successione. Dall’estratta estraiamo ancora una
sottosuccessione. Immaginiamo di procedere all’infinito costruendo in tal modo infinite successioni
ciascuna delle quali è una sottosuccessione della precedente. Per formalizzare una situazione di
questo tipo conviene assumere delle notazioni ad hoc: denotiamo gli indici, che sono numeri naturali,
con coppie (n, k) di indici interi positivi. L’indice n corrisponde al fatto che siamo all’ n -esima
estrazione, mentre k indica quale elemento dell’ n -esima sottosuccessione stiamo considerando.
Poi, per brevità, omettiamo le parentesi tonde nel simbolo di coppia. Costruiamo allora la “matrice”
x1,1 x1,2 x1,3 . . . . . .
x2,1 x2,2 x2,3 . . . . . .
x3,1 x3,2 x3,3 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abbiamo dunque (n, 1) < (n, 2) < (n, 3) < . . . per ogni n . Inoltre (2, 1), (2, 2), . . . sono scelti
fra gli indici (1, k) e allo stesso modo (3, 1), (3, 2), . . . sono scelti fra gli indici (2, k) , eccetera. Il
metodo diagonale consiste nel prendere in considerazione la successione {xk,k} . Vediamo che accade.
Si ha (2, 2) > (2, 1) ≥ (1, 1) . Analogamente si vede che (3, 3) > (2, 2) , eccetera. Si conclude
che {xk,k} è una sottosuccessione della successione {xn} di partenza. Inoltre ciascuno degli indici
(k, k) è scelto fra gli indici della prima sottosuccessione, per cui {xk,k} è anche sottosuccessione
di {x1,k} . Analogamente si vede che, se si esclude il valore k = 1 , gli indici (k, k) sono scelti
fra gli indici della seconda sottosuccessione, per cui {xk,k} è, a meno del suo primo termine, una
sottosuccessione di {x2,k} . In generale, per ogni n , se si escludono i valori k < n , la successione
{xk,k} è una sottosuccessione di {xn,k} . In particolare, se le estrazioni successive sono fatte in
modo che, per ogni n , una certa successione {Xn(xn,k)} di elementi di uno spazio topologico,
costruita a partire da {xn,k} con qualche procedura, converga a un elemento yn di tale spazio per
k → ∞ , la stessa cosa avviene per la successione {Xn(xk,k)} , e ciò per ogni n .
Come preannunciato, ricordiamo, dimostrandole per completezza, due proprietà degli spazi
metrici compatti. La prima è la seguente: se (S, d) è uno spazio metrico compatto, allora
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per ogni δ > 0 , esistono punti x1, . . . , xp ∈ S tali che S = Bδ(xi) (3.5)
come enunciato nel Teorema A.1.20 (limitatezza totale dello spazio metrico). Infatti la famiglia
{Bδ(x) : x ∈ S} che, banalmente, ricopre S ed è costituita da aperti contiene una famiglia finita
che ancora ricopre S . Ecco l’altra proprietà che vogliamo evidenziare:
3.12. Lemma. Sia (S, d) uno spazio metrico compatto. Allora esiste un sottoinsieme D ⊆ S
che è al più numerabile e denso.
Dimostrazione. Per m = 1, 2, . . . ricopriamo S con un numero finito di palle B 1/m(z m i ) , i = 1, . . . , pm ,
e poniamo D = {z m i : i = 1, . . . , pm, m = 1, 2, . . .} . Allora D è al più numerabile, chiaramente. Ma D
è anche denso. Presa infatti una palla Br(x) ad arbitrio, scegliamo m tale che 1/m ≤ r e un valore di i
tale che x ∈ B 1/m(z m i ) . Allora d(x, zm i ) < r , cioè zm i ∈ Br(x) . Dunque D interseca la palla data.
3.13. Teorema (di Ascoli). Siano (S, d) uno spazio metrico compatto e F un sottoinsieme
limitato di C(S) . Allora F è relativamente compatto se e solo se è equicontinuo.
Dimostrazione. Supponiamo F relativamente compatto. Per dimostrare che F è anche equicontinuo
ragioniamo per assurdo. Supponiamo cioè che F non sia equicontinuo e cerchiamo di arrivare a una contraddizione.
Negando l’equicontinuità vediamo che esiste ε > 0 tale che per ogni δ > 0 esistano v ∈ F e
x, y ∈ S verificanti d(x, y) ≤ δ e |v(x)−v(y)| ≥ ε . Fissiamo un tale ε e una successione {δn} reale positiva
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Gianni Gilardi