G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
3.6. Esercizio. Dimostrare che, se V è uno spazio normato, ciascuna delle condizioni seguenti
equivale a dim V < +∞ : i) ogni funzione f : V → R continua è limitata su ogni limitato di V ;
ii) ogni funzione f : V → R continua è uniformemente continua su ogni limitato di V .
3.7. Osservazione. Notiamo che, senza ipotesi ulteriori sugli spazi normati V e W , rimane
vero che, se B è una palla di V , ogni funzione f : B → W uniformemente continua è limitata,
come ora mostriamo supponendo B = B1(0) . Siano δ > 0 tale che |f(x) − f(y)| ≤ 1 per ogni
coppia di punti x, y ∈ B verificanti �x − y� ≤ δ e n un intero ≥ 1/δ . Allora |f(x) − f(0)| ≤ n
per ogni x ∈ B . Infatti, fissato x ∈ B e posto xk = (k/n)x per k = 0, . . . , n , si ha xk ∈ B per
per ogni k e �xk−1 − xk� = (1/n)�x� ≤ δ per k = 1, . . . , n così che |f(xk−1) − f(xk)| ≤ 1 .
3.8. Esempio. Riprendiamo le notazioni dell’Osservazione 3.5, denotiamo con U l’unione di
tutte le palle chiuse Br(un) , poniamo C = B ∩ U e costruiamo f : C → R ponendo più semplicemente
f(x) = n se x ∈ Br(un) , ove, ricordiamo, abbiamo preso r = 1/5 . La verifica della
continuità di f è ora ancora più banale e, se la palla chiusa B fosse compatta, anche C , che è un
chiuso di B , sarebbe compatto e f sarebbe limitata, il che non è. Osserviamo che tale funzione
f è anche uniformemente continua. Infatti, se x ∈ Br(un) e y ∈ Br(um) con n �= m , si ha
�x − y� ≥ ϑ − 2r = 1/10 . Dunque, se x, y ∈ C verificano �x − y� < 1/10 , essi appartengono alla
stessa palla e si ha f(x) = f(y) . Tuttavia, per quanto appena detto, tale funzione non ha alcuna
estensione F : B → R ancora uniformemente continua.
Per il Teorema 3.4, in dimensione infinita ogni compatto ha interno vuoto e perché un sottoinsieme
chiuso e limitato sia compatto occorre imporgli condizioni di solito restrittive. Le stesse
condizioni aggiuntive forniranno la relativa compattezza in assenza di ipotesi di chiusura. Un esempio
particolarmente significativo e importante è quello dello spazio C(K) delle funzioni continue in
uno spazio topologico compatto (vedi Esempio I.5.4) almeno nel caso in cui K sia uno spazio metrizzabile
(che denoteremo con S ), caso che comprende quello dello spazio C 0 (Ω) (Esempio I.5.5)
delle funzioni uniformente continue in un aperto limitato Ω ⊂ R d . Qui la situazione è perfettamente
chiara e ci concediamo la digressione. Al fondamentale risultato di caratterizzazione dei
sottoinsiemi relativamente compatti premettiamo una definizione e qualche elemento propedeutico.
3.9. Definizione. Siano (S, d) uno spazio metrico e F un sottoinsieme di C(S) . Diciamo che
F è equicontinuo quando, per ogni ε > 0 , esiste δ > 0 tale che
|v(x) − v(y)| ≤ ε per ogni v ∈ F e x, y ∈ S verificanti d(x, y) ≤ δ . (3.4)
Diremo poi che una successione {vn} di elementi di C(S) è equicontinua quando è equicontinua
la sua immagine, cioè l’insieme descritto da vn al variare di n .
Segnaliamo che, se F ⊂ C(S) , si dice anche che gli elementi di F sono funzioni equicontinue
(fra loro), ma noi preferiamo riferire il termine “equicontinuità” all’insieme F anziché ai suoi
elementi. Notiamo che nella definizione avremmo potuto considerare un generico insieme F di
funzioni v : S → K senza imporre F ⊂ C(S) . Tuttavia, così facendo, avremmo ottenuto una
generalizzazione solo apparentemente. L’equicontinuità di F , infatti, avrebbe comunque implicato
addirittura la continuità uniforme di ogni v ∈ F . Ma, si noti bene, l’equicontinuità richiede, in
aggiunta, che il δ dell’uniforme continuità che si può associare a ogni ε > 0 in corrispondenza a
ogni elemento v ∈ F possa essere lo stesso per tutte le funzioni considerate.
3.10. Esempio. La nozione di funzione α -holderiana (lipschitziana se α = 1 ) si estende in
modo naturale al caso in cui il suo dominio sia uno spazio metrico (S, d) : la funzione v : S → K
si dirà α -holderiana quando esiste una costante L (detta di Hölder, di Lipschitz se α = 1 ) tale
che |v(x) − v(y)| ≤ L(d(x, y)) α per ogni x, y ∈ S . Detto ciò, come nei casi elementari è ancora
vero che ogni funzione α -holderiana è uniformemente continua. Inoltre perché un insieme F di
funzioni α -holderiane sia equicontinuo è sufficiente che gli elementi di F abbiano una costante di
Hölder comune, diciamo L . In tal caso, infatti, possiamo prendere δ dato dalla relazione Lδ α = ε
per soddisfare l’uniforme continuità di tutte le funzioni di F contemporaneamente. In riferimento
ai sottoinsiemi di C 0 (Ω) , ove Ω è un aperto limitato di R d , ciò può essere sintetizzato nella frase:
ogni sottoinsieme limitato di C 0,α (Ω) è equicontinuo.
Analisi Funzionale
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