G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
3.4. Teorema. Sia V uno spazio normato. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: i) da
ogni successione limitata di V si può estrarre una sottosuccessione convergente; ii) la palla chiusa
unitaria B di V è compatta; iii) la sfera unitaria S di V è compatta; iv) V ha dimensione
finita. Più precisamente, se dim V = +∞ e {xn} una successione di vettori indipendenti di V ,
per ogni ϑ ∈ (0, 1) esiste una successione {un} di elementi di V fra loro indipendenti e verificanti
span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn} e �un� = 1 per ogni n e �un − um� ≥ ϑ per m �= n .
Dimostrazione. Naturalmente i termini che abbiamo usato per B e S sono quelli della Definizione I.3.4.
Dimostriamo che i) e ii) sono equivalenti. Valga i) . Allora da ogni successione di elementi di B si
può estrarre una sottosuccessione convergente, necessariamente a un elemento di B . Ciò prova che vale
anche ii) . Viceversa, valga ii) e siano {xn} una successione limitata di elementi di B e r > 0 tale
che �xn� ≤ r per ogni n . Siccome Br(0) è omeomorfa a B , anch’essa è compatta e dalla successione
considerata si può estrarre una sottosuccessione convergente. Ciò prova i) . Dimostriamo ora che ii) e iii)
sono equivalenti. Se B è compatta, anche S lo è dato che S è un chiuso di B . Se S è compatta,
anche B lo è in quanto immagine dell’applicazione continua f : S × [0, 1] → B definita dalla formula
f(x, λ) = λx . Supponiamo ora V di dimensione finita. Allora V è isomorfo a uno spazio euclideo per
cui vale, ad esempio, la condizione i) . Supponiamo infine V di dimensione infinita e dimostriamo prima
l’ultima affermazione dell’enunciato. Fissiamo ϑ ∈ (0, 1) e il sistema indipendente {xn} . L’idea è la stessa
della Proposizione 2.21, ove la possibilità di proiettare è rimpiazzata dal Lemma 3.3 di Riesz. Notiamo
che tutti i sottospazi che consideriamo sono chiusi in quanto di dimensione finita. Chiaramente prendiamo
u1 = x1/�x1� . Per induzione, sia n ≥ 1 e supponiamo di aver costruito i primi n vettori uk indipendenti, di
norma unitaria e verificanti span{u1, . . . , un} = span{x1, . . . , xn} e �um − uk� ≥ ϑ per m �= k . Poniamo
Vn = span{u1, . . . , un} e Vn+1 = span{u1, . . . , un, xn+1} . Applicando il lemma, troviamo un+1 ∈ Vn+1
di norma unitaria e verificante dist(un+1, Vn) ≥ ϑ . In particolare i vettori u1, . . . , un+1 sono indipendenti
(dato che un+1 �∈ Vn e i primi n vettori sono indipendenti per ipotesi di induzione), anch’essi generano Vn+1
e risulta �um − un+1� ≥ ϑ per m = 1, . . . , n . Allora è chiaro che la successione {un} così costruita verifica
tutte le condizioni che abbiamo richiesto nell’enunciato. Da ciò la conclusione della dimostrazione segue
immediatamente. Fissato infatti uno dei valori ammissibili di ϑ , ad esempio ϑ = 1/2 , e una qualunque
successione indipendente {xn} , che esiste in quanto V ha dimensione infinita, la successione {un} che
esiste in corrispondenza è limitata e non ha sottosuccessioni di Cauchy, dunque nemmeno sottosuccessioni
convergenti. Ciò prova che non vale la condizione i) .
Il teorema fornisce tre condizioni importanti che sono equivalenti al fatto che lo spazio abbia
dimensione finita. Le righe immediatamente successive contengono altri esempi ed osservazioni e
portano a caratterizzazioni ulteriori.
3.5. Osservazione. Siano V uno spazio normato di dimensione infinita e {un} data dal teorema
precedente ad esempio con ϑ = 1/2 . Detta ancora B la palla unitaria chiusa di V , costruiamo
una funzione f : B → R continua tale che f(B) non sia un insieme limitato. Fissiamo r > 0
abbastanza piccolo, ad esempio r = 1/5 (così che 2r < 1/2 , per cui, per ε > 0 opportuno e per
ogni n , la palla Br+ε(un) non interseca Br(um) per m �= n ), e definiamo f : B → R come
segue: f(x) = n(r − �x − un�) se x ∈ B ∩ Br(un) e f(x) = 0 se �x − un� > r per ogni n . Si
verifica senza difficoltà che f è continua. Eppure un ∈ B e f(un) = nr per ogni n , per cui f(B)
non è un insieme limitato. Siccome nel caso della dimensione finita tutte le funzioni reali continue
in B sono limitate, abbiamo ottenuto quest’altra caratterizzazione:
dim V < +∞ se e solo se ogni f : B1(0) → R continua è limitata. (3.2)
Osserviamo che la funzione costruita or ora non è uniformemente continua. Infatti, posto vn =
(n − 1)n −1 un per n ≥ 5 , si ha vn ∈ B e �vn − un� = 1/n ≤ r . Segue che vn ∈ B ∩ Br(un) da
cui f(vn) = n(r − 1/n) = nr − 1 . Si vede quindi che limn→∞�vn − un� = 0 , mentre chiaramente
limn→∞ |f(vn) − f(un)| = +∞ . Siccome nel caso della dimensione finita tutte le funzioni reali
continue in B sono uniformemente continue, abbiamo ottenuto anche la caratterizzazione seguente:
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dim V < +∞ se e solo se ogni f : B1(0) → R continua è uniformemente continua. (3.3)
Gianni Gilardi