G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

3. Il problema della compattezza
Spazi di Hilbert
Questo paragrafo costituisce una digressione. Tuttavia esso nasce spontaneamente dal problema
che ora poniamo e chiarisce una questione importante. Inoltre, di fatto, prepara la strada a un
risultato di compattezza che presentiamo in uno dei paragrafi successivi.
Immaginiamo di cercare il minimo di una funzione f : S → R , diciamo limitata inferiormente,
ove S è un sottoinsieme di uno spazio normato V . Sia λ = infx∈S f(x) e sia {xn} una successione
minimizzante, cioè costituita da elementi di S e tale che {f(xn)} converga a λ . Notiamo che
una successione minimizzante esiste sempre, per definizione di estremo inferiore. Occorre imporre
condizioni perché {xn} sia limitata: si può allora supporre che S stesso sia limitato oppure che
f(x) diverga a +∞ al tendere all’infinito di �x� , cioè che, per ogni M ∈ R , esista r > 0 tale
che f(x) ≥ M per ogni x ∈ S \ Br(0) . Se V = R N , si può estrarre da {xn} una sottosuccessione
convergente. Detto x il suo limite, per poter concludere che x è un punto di minimo per f , cioè
che x ∈ S e che f(x) = λ , basta supporre che S sia chiuso e che f sia continua.
La stessa strategia ovviamente funziona per tutti gli spazi normati che hanno la seguente
proprietà di compattezza (o di compattezza sequenziale): da ogni successione limitata si può estrarre
una sottosuccessione convergente. Ma, a questo proposito, vi sono sorprese molto sgradite.
3.1. Esempio. Si considerino le funzioni xn ∈ V = C 0 [0, 1] date dalle formule xn(t) = t n .
Queste verificano tutte �xn�∞ = 1 . D’altra parte nessuna sottosuccessione di {xn} può convergere
uniformemente a un elemento x ∈ V . Ogni sottosuccessione, infatti, converge puntualmente, come
l’intera successione, a una funzione discontinua.
3.2. Esempio. Nessuno spazio di Hilbert H di dimensione infinita ha la proprietà di compattezza
desiderata. Sia infatti {en} una qualunque successione ortonormale di H . Essendo
�en − em� 2 = 2 per n �= m , la successione {en} non ha sottosuccessioni di Cauchy, dunque
nemmeno sottosuccessioni convergenti.
Quindi sembrano rari gli spazi normati che posseggono la compattezza necessaria perché si
possa applicare il procedimento diretto di costruzione del minimo al quale si è accennato sopra.
Nelle righe successive dimostriamo che, precisamente, essi sono tutti e soli quelli di dimensione
finita. In particolare l’ipotesi che lo spazio sia di Hilbert non aiuta affatto e dobbiamo aggiustare il
tiro. Precisamente, nel caso della dimensione infinita, occorre proprio cambiare topologia e nei due
paragrafi successivi introduciamo, se non una nuova topologia, almeno un tipo nuovo di convergenza
e un risultato, valido nel quadro hilbertiano, di compattezza sequenziale. Ora, invece, intendiamo
discutere brevemente la relazione detta fra compattezza e dimensione finita e dare un esempio di
caratterizzazione dei sottoinsiemi (relativamente) compatti in un caso infinito-dimensionale: quello
particolarmente importante degli spazi di funzioni continue. Per quanto riguarda il problema generale
della compattezza, la chiave di volta è il lemma seguente, dovuto a Riesz, e la non compattezza
nel caso della dimensione infinita diventa una facile conseguenza.
3.3. Lemma. Siano V uno spazio normato e V0 un sottospazio chiuso di V diverso da V .
Allora, per ogni ϑ ∈ (0, 1) , esiste v ∈ V verificante
�v� = 1 e dist(v, V0) ≥ ϑ. (3.1)
Dimostrazione. Prendiamo x ∈ V \ V0 . Se V fosse uno spazio di Hilbert si potrebbe semplicemente
osservare che la proiezione y di x su V ⊥
0 è diversa da 0 e quindi prendere v = y/�y� ottenendo la (3.1)
con ϑ = 1 e l’uguaglianza. Notiamo che y = x − v0 ove v0 è la proiezione di x su V0 . Cerchiamo allora
di seguire la stessa procedura nel caso di un generico spazio normato costruendo un surrogato di v0 .
Fissiamo ϑ ∈ (0, 1) . Siccome V0 è chiuso, esiste un intorno di x disgiunto da V0 , per cui il numero
reale δ = dist(x, V0) è strettamente positivo. Siccome δ/ϑ > δ , esiste v0 ∈ V0 tale che �x − v0� ≤ δ/ϑ .
Poniamo y = x − v0 . Allora y �= 0 e possiamo definire λ = �y� > 0 e v = y/�y� . Ovviamente �v� = 1 .
Inoltre, per ogni v ′ ∈ V0 , osservato che v0 + λv ′ ∈ V0 , si ha
�v − v ′ � = 1
λ �y − λv′ � = 1
λ �x − (v0 + λv ′ )� ≥ δ
λ =
Dunque vale anche la seconda delle (3.1).
Analisi Funzionale
δ δ
≥ = ϑ.
�x − v0� δ/ϑ
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