G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
la i) di (2.12). Di conseguenza ogni u di questo tipo verifica anche la iii) di (2.12). Dunque
C ∞ c (−π, π) ⊆ V∞ . Siccome C ∞ c (−π, π) è denso in H , V∞ è denso a maggior ragione. Siccome
V∞ è chiuso per definizione, deduciamo che V∞ = H . Esplicitato il calcolo dei coefficienti di
Fourier, vediamo allora che per ogni u ∈ L 2 (−π, π) abbiamo
u(t) =
+∞�
n=−∞
αne int
la serie convergendo nel senso di L 2 (−π, π) .
ove αn = 1
� π
u(t)e
2π −π
−int dt per n ∈ Z (2.13)
2.18. Esempio (serie di soli seni e di soli coseni). Con le notazioni dell’esempio precedente,
consideriamo ora il sistema {sn}n≥1 definito dalla formula sn(t) = π −1/2 sin nt per n = 1, 2, . . . .
Anche questo è un sistema ortonormale in H . Tuttavia esso non è completo: infatti ogni combinazione
lineare finita degli sn è necessariamente dispari e quindi la stessa proprietà vale per tutti
gli elementi di V∞ , che ora chiamiamo Vsin . Abbiamo dunque che Vsin è incluso nel sottospazio
Hd = {v ∈ H : v(−x) = −v(x) q.o.} delle funzioni dispari. Vedremo che Vsin = Hd . Consideriamo
l’analogo sistema {cn}n≥0 ove cn è data dalla formula cn(t) = π −1/2 cos nt per n = 1, 2, . . . e c0 è
la funzione costante (2π) −1 . Allora valgono considerazioni analoghe: la chiusura del sottospazio generato
dal sistema {cn} , cioè lo spazio V∞ da considerare ora, che naturalmente chiamiamo Vcos ,
è incluso nel sottospazio Hp = {v ∈ H : v(−x) = v(x) q.o.} delle funzioni pari. D’altra parte
l’unione dei due sistemi {sn} e {cn} è un sistema ancora ortogonale (come si verifica) e completo,
non essendo altro che una versione reale del sistema {un} considerato nell’esempio precedente. Sia
ora u ∈ H ad arbitrio. Scritta la (2.13) per u , riscritta la serie in termini di seni e coseni e separati
i seni e i coseni in due serie, vediamo che deve valere una decomposizione del tipo
u =
∞�
∞�
bnsn +
n=1
con certi coefficienti bn e an . Ciò mostra, in particolare, che H = Vsin + Vcos e, siccome i due
sottospazi sono ortogonali, la somma è necessariamente diretta. Ma possiamo andare oltre. Infatti
le due serie di Fourier di u rispetto ai due sistemi {sn} e {cn} costituiscono una decomposizione
di u dello stesso tipo. Concludiamo che le due serie sono proprio le serie di Fourier di u rispetto ai
due sistemi (fatto che poteva essere controllato direttamente, ma in modo laborioso, calcolandone
davvero i coefficienti). Proseguiamo. Lo spazio H è anche somma (diretta) di Hd e Hp , dato
che, per ogni u ∈ H , si ha
n=0
ancn
u = ud + up ove ud(x) = 1
2 (u(x) − u(−x)) e up(x) = 1
(u(x) + u(−x))
2
e, come è ovvio, ud ∈ Hd e up ∈ Hp . Combinando ciò con le inclusioni Vsin ⊆ Hd e Vcos ⊆ Hp ,
concludiamo che Vsin = Hd e Vcos = Hp e che i due addendi di ciascuna delle due decomposizioni
di u sono le proiezioni di u su tali sottospazi.
2.19. Osservazione. Se gli esempi precedenti sono importanti e storici, dobbiamo sottolineare
che la teoria astratta delle serie di Fourier ha una vasta gamma di applicazioni in svariate direzioni,
ad esempio nella teoria delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico nei domini limitati, in
quanto i sistemi di autofunzioni associate agli operatori differenziali di una vasta classe sono sistemi
ortonormali completi nello spazio L 2 (Ω) .
Terminiamo il paragrafo con qualche risultato collaterale, fra cui un importante teorema di
isomorfismo. Ricordiamo che uno spazio topologico è separabile quando contiene un sottoinsieme
al più numerabile denso. Tale insieme è necessariamente infinito, dunque numerabile, se lo spazio
topologico considerato è uno spazio di Hilbert non ridotto allo zero. La nozione di separabilità verrà
discussa con un certo dettaglio successivamente e dimostreremo, in particolare, che sono separabili
gli spazi L 2 (Ω) e H k (Ω) qualunque sia l’aperto Ω ⊆ R d .
Analisi Funzionale
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