G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
2.13. Teorema. Siano H uno spazio di Hilbert e {un} una successione ortonormale di elementi
di H . Detta V∞ la chiusura del sottospazio generato dall’insieme {un : n ≥ 1} si ha
u =
∞�
(u, un) un + P⊥u e �u� 2 =
n=1
∞�
n=1
|(u, un)| 2 + �P⊥u� 2 per ogni u ∈ H (2.10)
ove P⊥ è l’operatore di proiezione su V ⊥ ∞ . In particolare vale la disuguaglianza di Bessel
∞�
n=1
e, per ogni u ∈ H , le tre condizioni
i) u =
|(u, un)| 2 ≤ �u� 2 per ogni u ∈ H (2.11)
∞�
(u, un) un , ii)
n=1
∞�
n=1
|(u, un)| 2 = �u� 2 , iii) u ∈ V∞ (2.12)
sono equivalenti. Infine, per ogni u ∈ H , la (2.10) è l’unica decomposizione di u nella forma
u = � ∞
n=1 cnun + u⊥ con cn ∈ K per ogni n e u⊥ ∈ V ⊥ ∞ .
2.14. Osservazione. Osserviamo che, siccome la possibilità di riordinare vale per le serie dei
quadrati delle norme, che sono serie a termini reali positivi, deduciamo che la stessa possibilità
vale per le serie di vettori. Basta infatti scrivere le (2.10) per la successione data e per un suo
riordinamento e confrontare tenendo conto dell’unicità della decomposizione. Per questo motivo
si usa più spesso il termine sistema ortonormale e si pensa all’insieme dei vettori un e non necessariamente
a una precisa successione. Quando poi tale sistema genera un sottospazio denso, si
dice comunemente che esso è un sistema ortonormale completo, oppure che è una base hilbertiana,
di H . In tali condizioni, e solo in questo caso, le i) e ii) della (2.12) valgono per ogni u ∈ H .
2.15. Definizione. Siano H uno spazio di Hilbert e {un} un sistema ortonormale di elementi
di H . Se u ∈ H la serie �∞ n=1 (u, un)un si chiama serie di Fourier di u rispetto al sistema
considerato e i coefficienti (u, un) si chiamano coefficienti di Fourier.
2.16. Osservazione. Vale forse la pena di sottolineare che, se u ∈ H , la serie di Fourier di
u converge comunque, ma non a u in generale, bensì alla proiezione di u sulla chiusura del
sottospazio generato dal sistema ortonormale considerato. La serie di Fourier di u converge a u
per ogni u ∈ H se e solo se il sistema è completo.
2.17. Esempio (serie di Fourier classiche). Il nome attribuito alle serie di Fourier trae origine
dalle serie trigonometriche. Conviene tuttavia considerare la versione complessa. Ci limitiamo
al caso del periodo 2π , nel quale non ci sono i fronzoli aggiuntivi che complicano le notazioni. Lo
spazio naturale da prendere in considerazione è quello delle funzioni 2π -periodiche di quadrato
sommabile cioè delle (classi di) funzioni misurabili v : R → C il cui quadrato è integrabile su
ogni intervallo di ampiezza 2π . Tuttavia, la restrizione a (−π, π) di ogni funzione di questo
tipo appartiene a L 2 (−π, π) e, viceversa, ogni elemento di L 2 (−π, π) ha uno e un solo prolungamento
2π -periodico verificante la condizione di sommabilità richiesta. Dunque possiamo
prendere più semplicemente H = L 2 (−π, π) e pensare ai prolungamenti periodici solo se la cosa
ci piace di più. Il sistema da considerare è quello dato dalle funzioni un definite dalle formule
un(t) = (2π) −1/2 exp(int) per ogni n ∈ Z . Si verifica immediatamente che esso è ortonormale. Il
fatto che esso sia anche completo è invece meno banale. Una traccia di una possibile dimostrazione è
la seguente. Si usa la teoria classica delle serie trigonometriche e si dimostra che, se u ∈ C 1 [−π, π]
verifica u(−π) = u(π) , allora la serie di Fourier di u converge a u uniformemente. Ciò vale,
in particolare, per ogni u ∈ C ∞ c (−π, π) . Siccome la convergenza uniforme in (−π, π) implica la
convergenza in H , ciò mostra che, con le notazioni del Teorema 2.13, ogni u ∈ C ∞ c (−π, π) verifica
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Gianni Gilardi