G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

In particolare vale la disuguaglianza di Bessel
∞�
n=1
e, per ogni u ∈ H , le tre condizioni
i) u =
Spazi di Hilbert
�Pnu� 2 ≤ �u� 2 per ogni u ∈ H (2.7)
∞�
Pnu, ii)
n=1
∞�
n=1
�Pnu� 2 = �u� 2 , iii) u ∈ V∞ (2.8)
sono equivalenti. Infine, per ogni u ∈ H , la (2.6) è l’unica decomposizione di u nella forma
u = � ∞
n=1 un + u⊥ con un ∈ Vn per ogni n e u⊥ ∈ V ⊥ ∞ .
Dimostrazione. Per ogni n denotiamo con V n il sottospazio generato dall’unione dei sottospazi Vk ,
k = 1, . . . , n . Esso è chiuso per il Teorema 2.8. Denotiamo inoltre con P n l’operatore di proiezione su V n .
Possiamo allora applicare la Proposizione 2.9 alla successione {V n } . Osservato che V∞ è anche la chiusura
del sottospazio generato dall’unione dei V n e combinando con il Teorema 2.8, otteniamo per ogni u ∈ H
P∞u = lim
n→∞ P n u = lim
n→∞
k=1
n�
∞�
Pku = Pnu.
Allora le (2.6) seguono dai Teoremi 2.6 e 2.8 e dalla Proposizione 2.5. I due punti successivi dell’enunciato
si verificano poi immediatamente: la (2.7) è ovvia conseguenza della seconda delle (2.6) e l’equivalenza
delle (2.8) è chiara in quanto ciascuna di esse equivale a P⊥u = 0 . Concludiamo verificando l’unicità
della decomposizione. Con le notazioni dell’enunciato, il vettore � ∞
n=1 un appartiene a V∞ , per cui, per il
Teorema 2.6, esso è la proiezione P u di u su tale spazio. Per lo stesso teorema u⊥ = P⊥u . Fissiamo ora
m ≥ 1 . Siccome Pm è lineare e continuo, tenendo conto del Lemma 2.7 deduciamo che
∞� ∞�
Pmu = PmP u = Pm un =
n=1
n=1
n=1
Pmun = um
dato che, per n �= m , Vm ⊆ V ⊥ n per cui Pmun = 0 . Ciò conclude la dimostrazione.
2.11. Osservazione. Nel caso particolare in cui l’unione dei Vn è densa, si ha V∞ = H e
V ⊥ ∞ = {0} . Allora le proiezioni su V ⊥ ∞ sono sistematicamente nulle e si usa condensare questo
fatto nella scrittura
H =
∞�
n=1
e dire che H è la somma hilbertiana della successione {Vn} . Si noti che, nelle condizioni dette,
le i) e ii) della (2.8) valgono per ogni u ∈ H .
Ora specializziamo la scelta dei sottospazi Vn nel teorema precedente: prendiamo dim Vn = 1
per ogni n . Conviene allora assegnare ciascuno dei Vn mediante un generatore un . Abbiamo
pertanto un �= 0 per ogni n e (un, um) = 0 per m �= n . Possiamo anche normalizzare tutto e
richiedere �un� = 1 per ogni n . Tenendo conto dell’Esempio 1.13, il risultato che diamo dopo la
definizione che segue è un banale corollario del Teorema 2.10 e non necessita di alcuna dimostrazione.
2.12. Definizione. Siano H uno spazio di Hilbert e {un} una successione di elementi di H .
Diciamo che essa è ortonormale quando (un, um) = 0 per m �= n e �un� = 1 per ogni n .
Analisi Funzionale
Vn
(2.9)
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