G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
Tuttavia, per abbreviare le notazioni, si useranno spesso frasi del tipo sia V uno spazio normato
oppure sia V uno spazio prehilbertiano, senza cioè evidenziare la norma o il prodotto scalare nella
notazione stessa. Resta inteso che occorre pensare di aver fissato una norma o un prodotto scalare
cui fare riferimento sistematico.
3.4. Definizione. Sia (V, � · �) uno spazio normato. La funzione d : V × V → R definita da
d(x, y) = �x − y� per x, y ∈ V (3.3)
si chiama metrica indotta dalla norma. La palla unitaria, la palla chiusa unitaria e la sfera unitaria
di V sono la palla B1(0) , la palla chiusa B1(0) e la sfera ∂B1(0) rispetto alla metrica d .
Si verifica immediatamente che d è effettivamente una metrica. Per dire che una successione
{xn} converge all’elemento x si scrive anche xn → x .
Dunque, se si considera prima la metrica indotta e poi anche la topologia indotta da questa
metrica, possiamo affermare che
in modo canonico.
ogni spazio prehilbertiano è anche uno spazio normato (3.4)
ogni spazio prehilbertiano o normato è anche uno spazio metrico (3.5)
ogni spazio prehilbertiano o normato o metrico è anche uno spazio topologico (3.6)
3.5. Esercizio. Verificare che in ogni spazio normato la norma è una funzione continua.
3.6. Esercizio. Dedurre dalla disuguaglianza di Schwarz che il prodotto scalare è una funzione
continua, cioè tale che le convergenze xn → x e yn → y implicano (xn, yn) → (x, y) .
3.7. Osservazione. Le affermazioni precedenti (3.4–6), tuttavia, meritano un commento. Mentre
due diverse metriche in un insieme possono indurre la stessa topologia, non può accadere che
due diversi prodotti scalari in uno spazio vettoriale V inducano la stessa norma, né che due norme
diverse inducano la stessa metrica. Tenendo conto delle formule iv) e v) dell’Osservazione 2.5,
abbiamo infatti: i) se � · � è la norma indotta dal prodotto scalare ( · , · ) , allora, per ogni x, y ∈ V
valgono le formule
(x, y) = 1
4
(x, y) = 1
4
�
�x + y� 2 − �x − y� 2�
�
�x + y� 2 − �x − y� 2�
+ i
�
�x + iy�
4
2 − �x − iy� 2�
rispettivamente nei casi K = R e K = C ; ii) se d è la metrica indotta dalla norma � · � , allora
�x� = d(x, 0) per ogni x ∈ V .
Quindi fissato lo spazio vettoriale V e considerate la famiglia P degli spazi prehilbertiani, quella
N degli spazi normati, quella M degli spazi metrici e quella T degli spazi topologici che si possono
costruire su V , abbiamo che le corrispondenze stabilite sopra sono, di fatto, delle applicazioni
P
Ipn
−−−−−−→ N
Inm
−−−−−−→ M
Imt
−−−−−−→ T
le prime due delle quali sono iniettive, al contrario della terza. Dunque, quando si afferma, ad esempio,
che gli spazi normati sono anche metrici, si interpreta Inm semplicemente come identificazione.
Ma ciò è effettivamente lecito per quanto riguarda Ipn e Inm , e possiamo scrivere P ⊂ N ⊂ M ,
mentre non possiamo interpretare l’applicazione Imt come identificazione dato che essa non è iniettiva.
In particolare è improprio l’uso di frasi del tipo “lo spazio topologico considerato è metrico
(normato, prehilbertiano)”, la frase corretta essendo “esiste una metrica (una norma, un prodotto
scalare) che induce la topologia considerata”. In alternativa si dice che “lo spazio topologico considerato
è metrizzabile (normabile, prehilbertizzabile)”. I risultati dati di seguito caratterizzano gli
spazi metrici che sono anche normati e gli spazi normati che sono anche prehilbertiani.
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Gianni Gilardi