G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
1.35. Esempio. Storicamente la (1.21) prende il nome di disequazione variazionale astratta. Le
disequazioni variazionali “concrete” si ottengono specializzando le scelte dello spazio di Hilbert, del
convesso e della forma bilineare. Un esempio tipico è il cosiddetto “problema dell’ostacolo”, sul
quale diciamo due parole. Con riferimento all’Osservazione 1.26, prendiamo H = H1 0 (Ω) , ove Ω è
un aperto limitato e regolare di Rd . Come forma a prendiamo la più semplice delle (1.14):
�
a(u, v) =
Ω
∇u · ∇v dx per u, v ∈ H .
Allora, grazie alla disuguaglianza di Poincaré, la forma a è coerciva. Prendiamo poi f = 0 in (1.21)
per semplicità. Come convesso prendiamo il seguente
C = {v ∈ H : v(x) ≥ ψ(x) q.o.}
ove ψ : Ω → R è una funzione fissata (l’ostacolo). L’insieme C è comunque convesso e chiuso, ma,
se ψ è generica, accade tranquillamente che C sia vuoto. Se invece ψ ∈ C 2 (Ω) e ψ|∂Ω ≤ −γ ove
γ è una costante positiva, allora C non è vuoto. Supponendo che ψ verifichi queste condizioni,
si può dimostrare che la soluzione u del problema (1.21) data dal Teorema di Lions-Stampacchia
verifica, in particolare, quanto segue: i) u ∈ C 1 (Ω) ; ii) detto ω l’insieme in cui u > ψ , che è un
aperto, u è di classe C ∞ in ω e si ha −∆u = 0 in ω (si noti che l’equazione (1.12) diventerebbe
−∆u = 0 con la scelta fatta di a e di f se avessimo preso C = H ); −∆ψ ≥ 0 in Ω \ ω . Nel
caso particolare in cui Ω è un intervallo di R , l’operatore di Laplace è la derivata seconda e la
condizione −∆u = 0 in ω diventa: u è un polinomio di grado ≤ 1 in ogni componente connessa
di ω . In tali condizioni la soluzione u rappresenta la configurazione che assume un filo elastico
fissato agli estremi (deve verificare u = 0 agli estremi) e costretto a restare sopra l’ostacolo ψ .
2. Decomposizioni e serie di Fourier
Il Teorema 1.10 delle proiezioni ha conseguenze notevolissime, oltre al Teorema di Riesz che abbiamo
già visto. In questo paragrafo vediamo come esso consenta di costruire decomposizioni di uno spazio
di Hilbert in suoi sottospazi ortogonali e di dedurre una teoria astratta delle serie di Fourier.
2.1. Definizione. Siano H uno spazio prehilbertiano. Due sottoinsiemi X, Y di H si dicono
ortogonali quando (x, y) = 0 per ogni x ∈ X e y ∈ Y . Se S è un sottoinsieme di H , l’insieme
è detto l’ortogonale di S .
S ⊥ = {x ∈ H : (x, y) = 0 per ogni y ∈ S } (2.1)
2.2. Osservazione. Facciamo notare l’articolo determinativo nell’ultima frase: S ⊥ non è un
qualunque sottoinsieme ortogonale a S , ma il più grande dei sottoinsiemi di questo tipo. Si
verifica immediatamente che
S ⊥ = (span S) ⊥ = (span S) ⊥
e che S ⊥ è sempre un sottospazio chiuso di H . Notiamo infine che l’intersezione S ∩S ⊥ o è vuota
oppure è ridotta all’origine, dato che ogni suo (eventuale) elemento x deve verificare (x, x) = 0 .
2.3. Lemma. Siano H uno spazio di Hilbert e V0 un suo sottospazio chiuso. Allora l’ortogonale
(V ⊥
0 )⊥ di V ⊥
0 coincide con V0 .
Dimostrazione. Sia u ∈ V0 . Allora per ogni v ∈ V ⊥
0 si ha (u, v) = 0 . Ciò mostra che u ∈ (V ⊥
0 ) ⊥ . Vale
dunque l’inclusione V0 ⊆ (V ⊥
0 ) ⊥ . Sia ora u ∈ (V ⊥
0 ) ⊥ e sia u0 la sua proiezione su V0 . Allora u0 ∈ (V ⊥
0 ) ⊥
per quanto abbiamo appena dimostrato. Segue u − u0 ∈ (V ⊥
0 ) ⊥ . D’altra parte si ha u − u0 ∈ V ⊥
0 .
Deduciamo che u − u0 = 0 e quindi che u = u0 ∈ V0 .
2.4. Esercizio. Dimostrare che, se S è un sottoinsieme non vuoto, allora (S ⊥ ) ⊥ = span S .
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Gianni Gilardi