G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Dimostrazione. Dimostriamo subito l’ultima parte dell’enunciato. Abbiamo
a(u1, u1 − v) ≤ 〈f1, u1 − v〉 e a(u2, u2 − v) ≤ 〈f2, u2 − v〉 per ogni v ∈ C .
Spazi di Hilbert
prendendo v = u2 nella prima e v = u1 nella seconda, sommando poi membro a membro e utilizzando
l’ipotesi (1.7) di coercività otteniamo
α�u1 − u2� 2 ≤ a(u1 − u2, u1 − u2) ≤ 〈f1 − f2, u1 − u2〉 ≤ �f1 − f2�∗ �u1 − u2�
e la disuguaglianza richiesta segue immediatamente. Notiamo che da qui seguirebbe facilmente anche un
risultato di unicità, per cui resterebbe da dimostrare solo l’esistenza della soluzione. Tuttavia il metodo
che utilizziamo, che ricalca nei limite del possibile la dimostrazione che abbiamo dato del Teorema di Lax-
Milgram, dimostra contemporaneamente esistenza e unicità. Seguiamo le notazioni della dimostrazione citata
e introduciamo le parti simmetrica e antisimmetrica di a e la famiglia di forme at dipendenti dal parametro
reale t . Ancora valgono le (1.10). Modifichiamo il problema (1.9) come segue
per ogni f ∈ H ∗ esiste uno e un solo u ∈ C tale che at(u, u − v) ≤ 〈f, u − v〉 per ogni v ∈ C (1.22)
e denotiamo con T l’insieme dei t ∈ R tali che l’affermazione (1.22) è vera. Ancora la tesi equivale al
fatto che 1 ∈ T e noi dimostriamo, come nel caso del Teorema di Lax-Milgram, che T = R verificando
che: i) 0 appartiene a T ; ii) se δ = α/(2M) , per ogni t0 ∈ T , vale l’inclusione [t0 − δ, t0 + δ] ⊆ T .
Ora, però, il punto i) è un poco più delicato. Fissato f ∈ H ∗ , applichiamo il Corollario 1.23 alla forma
simmetrica a0 : troviamo z ∈ H tale che a0(z, v) = 〈f, v〉 per ogni v ∈ H . Quindi il problema da risolvere
può essere riscritto nella forma equivalente
u ∈ C e a0(u, u − v) ≤ a0(z, u − v) per ogni v ∈ C
nella quale si riconosce il problema della proiezione di z sul convesso C , proiezione nel senso del nuovo
prodotto scalare a0 . Applicando dunque il Teorema 1.1, deduciamo che 0 ∈ T . Passiamo a ii) e supponiamo
t0 ∈ T . Ancora presentiamo la (1.22) per t generico come un problema di punto fisso che fa
intervenire la forma at0 . Fissato dunque f0 ∈ H ∗ , dobbiamo trovare u verificante
u ∈ C e at0 (u, u − v) ≤ 〈f0, u − v〉 + (t0 − t) b(u, u − v) per ogni v ∈ C . (1.23)
Per u ∈ H fissato, consideriamo il problema ausiliario di trovare w ∈ C verificante
w ∈ C e at0 (w, u − v) ≤ 〈f0, u − v〉 + (t0 − t) b(u, u − v) per ogni v ∈ C .
Troviamo una e una sola soluzione w in quanto t0 ∈ T e il problema ha la forma
w ∈ C e at0(w, u − v) ≤ 〈f, u − v〉 per ogni v ∈ C ove f : v ↦→ 〈f0, v〉 + (t0 − t) b(u, v)
e f ∈ H ∗ . Ancora l’applicazione F : H → H che a ogni u ∈ H associa tale soluzione consente di vedere
la (1.23) come l’equazione F(u) = u . Controlliamo che, con la scelta annunciata di δ , F è una contrazione
in H . Siano u1, u2 ∈ H . Poniamo per comodità wi = F(ui) per i = 1, 2 . Scrivendo tali posizioni,
scegliendo v = u2 nella prima e v = u1 nella seconda, sommando poi membro a membro e utilizzando la
coercività come abbiamo fatto all’inizio, otteniamo
α�w1 − w2� 2 ≤ at0 (w1 − w2, w1 − w2) ≤ |t0 − t| |b(u1 − u2, w1 − w2)| ≤ |t0 − t| M �u1 − u2� �w1 − w2�.
Dunque �F(u1) − F(u2)� ≤ (M|t0 − t|/α) �u1 − u2� e possiamo applicare il Teorema delle contrazioni se,
appunto, |t − t0| ≤ δ con δ = α/(2M) .
Analisi Funzionale
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