G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
ove H è uno dei sottospazi chiusi di H 1 (Ω) dati di seguito e f ∈ C 0 (Ω) (ipotesi questa che
garantisce u ∈ C 2 (Ω) e rende senz’altro lecite le integrazioni per parti che possono essere utili).
Dimostrare che, per ciascuna delle scelte di H considerate, il problema (1.17) equivale all’equazione
−u ′′ + u = f in Ω corredata dalle condizioni al bordo abbinate alla scelta di H data di volta in
volta. Tali condizioni al bordo possono dipendere dall’appartenenza di u allo spazio H oppure
essere nascoste nell’equazione variazionale.
H = H 1 (Ω) e u ′ (0) = u ′ (1) = 0
H = {v ∈ H 1 (Ω) : v(0) = 0} e u(0) = u ′ (0) = 0
H = {v ∈ H 1 (Ω) : v(0) = v(1)} e u(0) = u(1), u ′ (0) = u ′ (1)
H = {v ∈ H 1 (Ω) : v(1) = 2v(0)} e u(1) = 2u(0), u ′ (1) = (1/2)u ′ (0).
Si consiglia, in ciascuno dei casi, di passare per la caratterizzazione seguente: u risolve il problema
(1.17) se e solo se: u ∈ H , −u ′′ + u = f in Ω e u ′ (0)v(0) = u ′ (1)v(1) per ogni v ∈ H .
Tornando alla situazione generale e alla scelta H = H1 0 (Ω) , segnaliamo che, nel caso b = 0 ,
la coercività sarebbe garantita dall’ipotesi più debole c ≥ 0 , ferma restando l’uniforme ellitticità.
Ciò è conseguenza del risultato successivo, che presentiamo in una versione più generale.
1.28. Proposizione. Siano Ω un aperto limitato di Rd guaglianza di Poincaré
e p ∈ [1, +∞) . Allora vale la disu-
�v�p ≤ ℓ�∇v�p per ogni v ∈ W 1,p
0 (Ω) (1.18)
ove ℓ è l’ampiezza di una qualunque striscia che include Ω .
Dimostrazione. Supponiamo d > 1 . Il caso d = 1 , più semplice, si ottiene ignorando la variabile x ′ che
introdurremo e la relativa integrazione. Per semplificare le notazioni, supponiamo che la striscia considerata
che include Ω sia Ωℓ = R d−1 × (0, ℓ) . Rappresentiamo ogni x ∈ Ωℓ nella forma x = (x ′ , y) con x ′ ∈ R d−1
e y ∈ (0, ℓ) . Sia ora v ∈ C ∞ c (Ω) e denotiamo ancora con v il prolungamento di v a Ωℓ nullo fuori di Ω ,
così che v ∈ C ∞ c (Ωℓ) . Allora, posto D = ∂/∂xd , per ogni x ∈ Ωℓ , abbiamo (con 1/p ′ = 0 se p = 1 )
v(x) = v(x ′ � y
, y) =
Integrando su Ωℓ otteniamo
�
Ωℓ
|v(x)| p dx ≤ ℓ 1+p/p′
0
Dv(x ′ , t) dt da cui |v(x)| p ≤ ℓ p/p′
�
Ωℓ
� ℓ
0
|Dv(x ′ , t)| p dt.
|Dv(x ′ , t)| p dt dx ′ da cui �v�p ≤ ℓ�Dv�p
le norme essendo intese indifferentemente su Ωℓ o su Ω dato che v = 0 in Ωℓ \ Ω . Ciò implica la
disuguaglianza voluta nel caso v ∈ C ∞ c (Ω) . Ma C ∞ c (Ω) è denso in W 1,p
0 (Ω) per definizione. Dunque la
disuguaglianza ottenuta si estende a ogni v ∈ W 1,p
0 (Ω) .
1.29. Osservazione. Si noti che l’ipotesi di limitatezza non è stata sfruttata completamente: in
effetti la (1.18) vale non appena Ω è incluso in una striscia di ampiezza ℓ .
1.30. Osservazione. Riprendiamo l’ultima frase dell’Osservazione 1.26: in ipotesi di ellitticità
uniforme e nel caso b = 0 e c ≥ 0 la coercività è vera se vale una disuguaglianza del tipo
�∇v�2 ≥ α0�v�1,2 per ogni v ∈ H 1 0 (Ω)
per una certa costante α0 > 0 . Questa, a sua volta, segue facilmente dalla disuguaglianza (1.18)
di Poincaré con p = 2 . In generale, infatti, dalla (1.18) si deduce immediatamente
�v� p
1,p = �v�p p + �∇v� p p ≤ (ℓ p + 1)�∇v� p p da cui �∇v�p ≥ α0�v�1,p per ogni v ∈ W 1,p
0 (Ω)
Analisi Funzionale
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