G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
Dunque, in ipotesi di uniforme ellitticità, la forma è coerciva se c ha estremo inferiore (essenziale)
abbastanza grande e in tali condizioni possiamo applicare il Teorema di Lax-Milgram.
Va detto che l’ipotesi astratta (1.7) è proprio ispirata a situazioni concrete del tipo di quella
che stiamo considerando. Per questo motivo la (1.7) è anche chiamata condizione di H -ellitticità.
Chiusa questa parentesi, riprendiamo il discorso: se H = H1 (Ω) o un suo sottospazio chiuso,
esiste una e una sola funzione u ∈ H che verifica l’equazione variazionale
�
�
� �
(A∇u) · ∇v dx + ∇u · bv dx + cuv dx = fv dx per ogni v ∈ H . (1.16)
Ω
Ω
Ω
Se tutto ciò che abbiamo detto vale per un sottospazio chiuso qualunque H di H1 (Ω) , vale la
pena di spendere due parole sull’interpretazione di quanto abbiamo ottenuto nel caso del sottospazio
H = H1 0 (Ω) di H1 (Ω) , nel quale C∞ c (Ω) è denso per definizione (Esempio II.3.16). Ricordiamo
che H coincide con H1 (Rd ) se Ω = Rd (unico caso, se si considerano solo aperti che intervengono
nei casi concreti) in quanto C∞ c (Rd ) è denso in H1 (Rd ) (Esempio II.3.15). Al contrario, se Ω è
un aperto limitato, si ha senz’altro H1 0 (Ω) �= H1 (Ω) . Se poi Ω è anche lipschitziano, H1 0 (Ω) è
costituito esattamente dalle funzioni v ∈ H1 (Ω) nulle sul bordo (Osservazione III.1.15), così che
(Ω) corrisponde a imporre alla soluzione u la condizione di Dirichlet omogenea.
richiedere u ∈ H1 0
Sia dunque H = H1 0 (Ω) . Allora è equivalente lasciare variare v in tutto H o solo in C∞ c (Ω) :
infatti, fissata u , i due membri della (1.16) sono continui rispetto a v rispetto alla topologia
di H1 (Ω) , per cui essi sono uguali per ogni v di un sottospazio se e solo se essi sono uguali per
ogni v della chiusura. Segue che la (1.16) equivale a
�
�
(∇u · b + cu − f) v dx = − (A∇u) · ∇v dx per ogni v ∈ C∞ c (Ω) .
Ω
Ω
Osservato che A∇u ∈ L 2 (Ω) d in quanto u ∈ H 1 (Ω) e aij ∈ L ∞ (Ω) e ricordati l’Esmpio I.5.59 e
l’Osservazione I.5.60, l’ultima uguaglianza dice che
A∇u ∈ H(div; Ω) = W 2 div (Ω) e div(A∇u) = ∇u · b + cu − f.
Si è dunque risolta, in senso debole, l’equazione (1.12) trovando una e una sola soluzione u ∈ H1 0 (Ω) .
In particolare, se Ω è un aperto limitato, si è risolto in forma generalizzata il problema di Dirichlet
omogeneo per l’equazione (1.12).
1.26. Osservazione. Segnaliamo che, al contrario, se H = H 1 (Ω) con Ω aperto limitato,
le cose vanno diversamente in quanto C ∞ c (Ω) non è denso in H 1 (Ω) , come abbiamo sottolineato
nell’Esempio II.3.16. Precisamente scrivere la (1.12) equivale a imporre la (1.16) per le sole funzioni
(Ω) è proprio la
v ∈ C∞ c (Ω) o, equivalentemente, per tutte le funzioni v ∈ H1 0 (Ω) dato che H1 0
chiusura di C∞ c (Ω) in H1 (Ω) , ma non per tutte le v ∈ H . Ne segue che nella (1.16) è nascosto
qualcos’altro, precisamente certe condizioni al bordo, sulle quali, tuttavia, soprassediamo (ma si
veda l’esercizio dato di seguito relativo al caso monodimensionale).
Analogamente, se come H si prenda un sottospazio di H1 (Ω) , chiuso per avere la completezza,
perché si possa dedurre l’equazione differenziale occorre che H ⊇ C∞ c (Ω) o, equivalentemente, che
H ⊇ H1 0 (Ω) . Ma, anche in questa ipotesi, la (1.16) contiene in modo nascosto certe condizioni al
(Ω) (si veda sempre l’esercizio dato di seguito).
bordo, a meno che H non sia proprio H 1 0
1.27. Esercizio. Posto Ω = (0, 1) , sia a : H1 (Ω) × H1 (Ω) → R la forma definita dalla formula
�
a(u, v) =
e si consideri il problema variazionale
�
u ∈ H e a(u, v) =
70
(u
Ω
′ v ′ + uv) dx per u, v ∈ H1 (Ω)
Ω
Ω
fv dx per ogni v ∈ H (1.17)
Gianni Gilardi