G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
Notiamo che nella (1.13) si ha una diversa ripartizione fra parte principale (la prima somma)
e termini di ordine inferiore rispetto alla prima delle (1.12).
Nel caso più elementare in cui d = 1 , i coefficienti sono costanti (con A non nullo) e f = 0
un’equazione di tipo (1.12) o (1.13) non ha soluzione unica: la soluzione, infatti, dipende da due
parametri arbitrari. In generale, cioè in dimensione qualunque, a una delle equazioni precedenti
vanno affiancate condizioni ulteriori se si vuole avere la speranza di ottenere un problema ben posto
in qualche classe funzionale. La più semplice di tali condizioni aggiuntive è la cosiddetta condizione
di Dirichlet, che consiste nell’assegnare i valori che u deve avere nei punti del bordo ∂Ω . Più
in generale, se si vuole sperare in un problema ben posto, occorre assegnare una condizione su
u in ogni punto del bordo. In particolare, nel caso monodimensionale in cui Ω sia un intervallo
limitato, va assegnata una condizione in ciascuno dei due estremi. Il sistema che si ottiene abbinando
l’equazione alla condizione al bordo è detto problema ai limiti per l’equazione considerata. Nel caso
della condizione di Dirichlet si parla di problema di Dirichlet, omogeneo o non omogeneo a seconda
che all’incognita si impongano valori al bordo nulli o generici, per l’equazione alle derivate parziali
considerata. Tuttavia l’applicazione del Teorema di Lax-Milgram consiste nello studio, piuttosto
che di un problema ai limiti per l’equazione (1.12), di un problema diverso, anche se in qualche
modo collegato a quello, detto di tipo variazionale.
Si considerino la forma bilineare a : H × H → R e il funzionale lineare F : H → R definiti
dalle formule
�
a(u, v) =
Ω
�
�
�
(A∇u)·∇v dx+ ∇u·bv dx+ cuv dx e F (v) = fv dx per u, v ∈ H (1.14)
Ω
Ω
Ω
ove H = H 1 (Ω) o un suo sottospazio chiuso e f ∈ L 2 (Ω) è fissata. La forma e il funzionale sono
ben definiti grazie alle ipotesi fatte sui coefficienti e alla disuguaglianza di Hölder (Esercizio I.5.20).
Per lo stesso motivo entrambi sono continui. Notiamo che a è una forma simmetrica se A è
una matrice simmetrica e b = 0 , mentre non lo è nel caso generale. Cerchiamo condizioni sui
coefficienti perché essa sia coerciva. La richiesta naturale perché la sua parte principale (il primo
degli integrali) domini il quadrato della seminorma | · |1,2 di H = H 1 (Ω) è la cosiddetta condizione
di ellitticità uniforme seguente
esiste α > 0 tale che (A(x)ξ) · ξ ≥ α|ξ| 2 per ogni ξ ∈ R d e q.o. x ∈ Ω . (1.15)
In tali condizioni abbiamo infatti per ogni v ∈ H
(A∇v) · ∇v ≥ α|∇v| 2 �
q.o. in Ω , da cui
Ω
�
(A∇v) · ∇v dx ≥ α |∇v|
Ω
2 dx = α|v| 2 1,2 .
Allora, se b = 0 e inf c = δ > 0 (estremo inferiore essenziale), deduciamo che
a(v, v) ≥ α|v| 2 1,2 + δ�v� 2 2 ≥ min{α, δ}�v� 2 1,2 per ogni v ∈ H
e a è coerciva. Nel caso in cui b �= 0 , senza pretendere nulla di ottimale, abbiamo per ogni ε > 0
��
�
�
�
� ∇v · bv dx
Ω
e quindi riunendo tutto deduciamo che
� ≤ �∇v�2 �b�∞ �v�2 = ε|v|1,2 ε −1 �b�∞ �v�2 ≤ ε 2 |v| 2 1,2 + ε −2 �b� 2 ∞ �v� 2 2
a(v, v) ≥ (α − ε 2 )|v| 2 1,2 + (inf c − ε −2 �b� 2 ∞)�v� 2 2 .
Prendendo ad esempio ε = (α/2) 1/2 e supponendo c − (2/α)�b� 2 ∞ ≥ δ > 0 , concludiamo che
Analisi Funzionale
a(v, v) ≥ min{α/2, δ}�v� 2 1,2 per ogni v ∈ H .
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