G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
e denotiamo con T l’insieme dei t ∈ R tali che (1.9) è vera. Siccome a1 = a , la tesi equivale al fatto che
1 ∈ T e noi dimostriamo addirittura che T = R verificando che: i) 0 appartiene a T ; ii) esiste δ > 0
tale che, per ogni t0 ∈ T , vale l’inclusione [t0 −δ, t0 +δ] ⊆ T . Mostriamo precisamente che si può prendere
δ = α/(2M) , ove M è la norma di a (Definizione III.1.27). Osserviamo preliminarmente che
|b(u, v)| ≤ M�u� �v� e at(v, v) ≥ α�v� 2 per ogni u, v ∈ H e t ∈ R . (1.10)
Per quanto riguarda i) , siccome la forma a0 è anche simmetrica, essa verifica tutte le ipotesi del Corollario
1.23. D’altra parte la (1.9) con t = 0 coincide con le conclusioni del corollario citato quando esso sia
applicato alla forma a0 . Dunque 0 ∈ T . Passiamo a ii) e supponiamo t0 ∈ T . Presentiamo la (1.9) per t
generico come un problema di punto fisso che fa intervenire la forma at0 osservando che at = at0 + (t − t0)b
per ogni t ∈ R . Fissato dunque f0 ∈ H ∗ , dobbiamo trovare u ∈ H tale che
at0 (u, v) = 〈f0, v〉 + (t0 − t) b(u, v) per ogni v ∈ H . (1.11)
Per u ∈ H fissato, consideriamo il problema ausiliario di trovare w ∈ H tale che
at0 (w, v) = 〈f0, v〉 + (t0 − t) b(u, v) per ogni v ∈ H .
Siccome t0 ∈ T e l’applicazione di H in R data da f(v) = 〈f0, v〉 + (t0 − t) b(u, v) è lineare e continua, il
problema ausiliario ha una e una sola soluzione w . Possiamo allora considerare l’applicazione F : H → H
che a ogni u ∈ H associa tale soluzione, così che la (1.11) equivale all’equazione F(u) = u . Controlliamo
che, per δ > 0 opportuno indipendente da t0 e da f0 , l’applicazione F è una contrazione in H (Definizione
A.1.28). Siano u1, u2 ∈ H . Poniamo per comodità wi = F(ui) per i = 1, 2 . Semplicemente
esplicitando ciò, sottraendo membro a membro e usando la bilinearità di at0 e di b , abbiamo
Scelta v = w1 − w2 e usando le (1.10), otteniamo
at0 (w1 − w2, v) = (t0 − t) b(u1 − u2, v) per ogni v ∈ H .
α�w1 − w2� 2 ≤ at0(w1 − w2, w1 − w2) = |t0 − t| |b(u1 − u2, w1 − w2)| ≤ |t0 − t| M �u1 − u2� �w1 − w2�.
Dunque �F(u1) − F(u2)� ≤ (M|t0 − t|/α) �u1 − u2� . Poniamo δ = α/(2M) come preannunciato. Allora,
se |t0 − t| ≤ δ , si ha M|t0 − t|/α ≤ 1/2 e l’applicazione F è una contrazione. Quindi essa ha uno e un solo
punto fisso per il Teorema delle contrazioni (vedi A.1.29) e deduciamo che t ∈ T . Pertanto, con tale scelta
di δ , vale quanto affermato in ii) e la dimostrazione è conclusa.
1.25. Esempio. Sappiamo che H 1 (Ω) = W 1,2 (Ω) è uno spazio di Hilbert, così come ogni suo
sottospazio chiuso. Un’applicazione notevole del Teorema di Lax-Milgram riguarda la risolubilità
di problemi ai limiti per certe equazioni a derivate parziali, dette di tipo ellittico. Siano A una
matrice d × d di funzioni aij ∈ L ∞ (Ω) , b ∈ L ∞ (Ω) d e c ∈ L ∞ (Ω) . L’equazione che vogliamo
considerare è la seguente
− div(A∇u) + ∇u · b + cu = f in Ω (1.12)
ove u è l’incognita e f è una funzione data. Oltre alla regolarità già imposta, ai coefficienti
richiederemo appunto anche la condizione detta di ellitticità che espliciteremo tra breve.
Le equazioni ellittiche costituiscono spesso il modello matematico di un fenomeno stazionario.
In particolare ciò avviene per la (1.12): essa è il modello di un fenomeno stazionario di diffusionetrasporto-reazione,
i tre termini corrispondendo ordinatamente ai tre addedndi del primo membro.
Dal punto di vista matematico l’equazione (1.12) è “in forma di divergenza”, dato che la sua
parte principale, cioè − div(A∇u) , è appunto una divergenza. Gli altri addendi sono i termini di
ordine inferiore. La locuzione usata si contrappone all’esplicitazione delle derivate seconde
68
−
d�
aijDiDju +
i,j=1
d�
i=1
b ∗ i Diu + cu = f ove b ∗ i = bi −
d�
Djaij . (1.13)
j=1
Gianni Gilardi