G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 4
1.19. Esercizio. Siano H = ℓ 2 e V0 il suo sottospazio costituito dalle successioni {xn} tali
che xn = 0 per ogni n pari. Verificare che V0 è chiuso e determinare l’operatore di proiezione
su V0 .
1.20. Esercizio. Siano H uno spazio di Hilbert reale e P ∈ Hom(H; H) tale che P 2 = P e
verificante la condizione seguente di simmetria: (P x, y) = (x, P y) per ogni x, y ∈ H . Si dimostri
che l’immagine R(P ) è un sottospazio chiuso e che P coincide con l’operatore di proiezione
ortogonale su R(P ) . Si consiglia di dimostrare prima che �P x� ≤ �x� per ogni x ∈ H . Viceversa,
si verifichi che, se P è l’operatore di proiezione ortogonale su un qualunque sottospazio chiuso di H ,
allora P verifica tutte le condizioni di cui sopra.
Il Teorema delle proiezioni, come si è detto, è importante. Una sua applicazione fondamentale è
il successivo Teorema di Riesz che fornisce una rappresentazione del duale di uno spazio di Hilbert.
1.21. Teorema (di rappresentazione di Riesz). Sia H uno spazio di Hilbert. Allora per
ogni f ∈ H ∗ esiste uno e un solo y ∈ H tale che
Inoltre �y� = �f�∗ .
(x, y) = 〈f, x〉 per ogni x ∈ H . (1.4)
Dimostrazione. Per quanto riguarda l’esistenza, osserviamo che possiamo prendere y = 0 se f = 0 .
Supponiamo dunque f �= 0 . Per intuire la direzione da prendere supponiamo che y verifichi la (1.4): allora
y è ortogonale a tutti i vettori del nucleo di f . Consideriamo pertanto il nucleo N di f e cerchiamo di
costruire y ortogonale a tutti gli elementi di N che verifichi la (1.4). Innanzi tutto, N è un sottospazio
chiuso (in quanto f è lineare e continuo) diverso da H per ipotesi. Possiamo allora fissare z ∈ H tale che
z �∈ N e prendere la proiezione z0 di z su N . Siccome z0 ∈ N e z �∈ N , abbiamo z0 �= z e cerchiamo y
fra i multipli del vettore non nullo z −z0 , che è ortogonale a tutti gli elementi di N . Poniamo per comodità
e0 =
z − z0
�z − z0�
e yλ = λe0 per λ ∈ K
e cerchiamo di determinare λ ∈ K in modo che y = yλ verifichi la (1.4). Supponiamo dapprima x ∈ N .
Allora, per ogni λ e con ovvia scelta dello scalare cλ , si ha (x, yλ) = cλ(x, z − z0) = 0 , per definizione
di z0 . D’altra parte 〈f, x〉 = 0 . Dunque (x, yλ) = 〈f, x〉 per ogni λ . Supponiamo ora x ∈ span{e0} , cioè
x = ke0 per un certo k ∈ K . Allora
(x, yλ) = kλ (e0, e0) = kλ e 〈f, x〉 = k〈f, e0〉.
Prendiamo pertanto λ = 〈f, e0〉 e mostriamo che, con tale scelta di λ , il punto y = yλ verifica la (1.4) per
ogni x ∈ H e non solo per le scelte particolari di x appena fatte. A tale scopo osserviamo che λ �= 0 dato
che 〈f, e0〉 = �z − z0� −1 〈f, z − z0〉 = �z − z0� −1 〈f, z〉 �= 0 . Dunque, se x ∈ H , sono ben definiti i vettori
u = (〈f, x〉/λ) e0 e v = x − u . Allora u ∈ span{e0} , ovviamente, e v ∈ N in quanto 〈f, u〉 = 〈f, x〉 per
come sono stati scelti λ e u . Segue (u, y) = 〈f, u〉 e (v, y) = 〈f, v〉 per quanto visto sopra. Dunque
(x, y) = (u + v, y) = (u, y) + (v, y) = 〈f, u〉 + 〈f, v〉 = 〈f, u + v〉 = 〈f, x〉.
Ciò conclude la dimostrazione dell’esistenza. Dimostriamo ora l’uguaglianza �y� = �f�∗ e deduciamone
l’unicità. Se y verifica la (1.4), si ha |〈f, x〉| = |(x, y)| ≤ �y� �x� per ogni x ∈ H , da cui �f�∗ ≤ �y� . Ma
si ha anche, in particolare, �y� 2 = (y, y) = 〈f, y〉 ≤ �f�∗ �y� , da cui �y� ≤ �f�∗ . Segue �y� = �f�∗ per
tutti gli y verificanti la (1.4). Ciò implica unicità quando f = 0 , dunque per ogni f ∈ H ∗ per linearità.
1.22. Osservazione. Riprendiamo l’Esempio III.3.2. La formula
〈Ry, x〉 = (x, y) per ogni x, y ∈ H (1.5)
effettivamente definisce un’applicazione R : H → H ∗ (il che giustifica a posteriori l’uso del prodotto
di dualità) che chiamiamo mappa di Riesz dello spazio H . Il Teorema di Riesz afferma che R è
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Gianni Gilardi