G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Norme e prodotti scalari
2.7. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale e b una forma sesquilineare hermitiana
semidefinita positiva in V . Allora vale la disuguaglianza
|b(x, y)| ≤ (b(x, x)) 1/2 (b(y, y)) 1/2 per ogni x, y ∈ V (2.6)
detta disuguaglianza di Schwarz o di Cauchy-Schwarz.
Dimostrazione. Supponiamo dapprima b(x, y) ∈ R . Allora, per ogni t ∈ R , risulta
0 ≤ b(tx − y, tx − y) = b(tx, tx) − 2 Re b(tx, y) + b(y, y) = t 2 b(x, x) − 2tb(x, y) + b(y, y). (2.7)
Se b(x, x) = 0 allora si ha anche b(x, y) = 0 , altrimenti la (2.7) diventerebbe falsa per qualche t ∈ R . Ma
allora la (2.6) è banalmente vera. Se b(x, x) > 0 , la (2.7) implica che il discriminante del polinomio è ≤ 0 ,
cioè che b(x, y) 2 − b(x, x) b(y, y) ≤ 0 , cioè la (2.6). In particolare ciò conclude la dimostrazione quando
K = R . Nel caso K = C senza ipotesi ulteriori, scriviamo b(x, y) = ρe iϑ con ρ, ϑ ∈ R . Posto z = e iϑ y , si
ha b(x, z) = e −iϑ b(x, y) = ρ ∈ R e la prima parte della dimostrazione fornisce
da cui la (2.6) anche in questo caso.
|b(x, y)| 2 = |b(x, e −iϑ z)| 2 = |b(x, z)| 2 ≤ b(x, x) b(z, z) = b(x, x) b(y, y)
2.8. Osservazione. Per le norme di solito si usa il simbolo � · � , eventualmente con qualche
indice per distinguere una norma dall’altra, in sostituzione di p( · ) . Noi, in generale, adotteremo
questa consuetudine tranne quando V = K n , nel qual caso useremo il simbolo | · | (con eventuali
indici). Scritture del tipo | · | saranno utilizzate invece per denotare seminorme specifiche in certi
spazi di dimensione infinita che introdurremo nei vari esempi. Per i prodotti scalari useremo la
notazione ( · , · ) , al solito con eventuali indici, tranne in casi particolari.
3. Spazi normati e prehilbertiani
In questo paragrafo formalizziamo le definizioni di spazio normato e di spazio prehilbertiano e
vediamo le relazioni fra questi tipi di spazi, gli spazi metrici e gli spazi topologici.
3.1. Definizione. Uno spazio normato è una coppia (V, � · �) ove V è uno spazio vettoriale e
� · � è una norma in V . Uno spazio prehilbertiano è una coppia (V, ( · , · )) ove V è uno spazio
vettoriale e ( · , · ) è un prodotto scalare in V .
3.2. Proposizione. Sia (V, ( · , · )) uno spazio prehilbertiano. Allora la formula
definisce una norma in V .
�x� = (x, x) 1/2 , x ∈ V (3.1)
Dimostrazione. Innanzitutto la (3.1) ha senso in quanto (x, x) ≥ 0 per ogni x . Vediamo la subadditività.
Per la Proposizione 2.7, vale la disuguaglianza di Schwarz (2.6), che nel nostro caso e con la definizione (3.1)
si scrive
|(x, y)| ≤ �x� �y� per ogni x, y ∈ V . (3.2)
Usando la formula del binomio, abbiamo pertanto
�x + y� 2 = �x� 2 + 2 Re(x, y) + �y� 2 ≤ �x� 2 + 2�x� �y� + �y� 2 = (�x� + �y�) 2
e la subadditività segue immediatamente. Siccome l’identità di omogeneità �λx� = |λ| �x� è evidente,
� · � è una seminorma. Infine �x� = 0 significa (x, x) = 0 e dunque implica x = 0 .
3.3. Definizione. Sia (V, ( · , · )) uno spazio prehilbertiano. La norma � · � definita dalla (3.1)
si chiama norma indotta dal prodotto scalare.
Analisi Funzionale
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