G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Spazi di Hilbert
Dimostrazione. Siccome V0 è convesso chiuso e non vuoto e l’ultima affermazione sulla norma è ovvia,
restano da dimostrare solo due cose: i) l’equivalenza fra la (1.1) con C = V0 e la (1.2); ii) la linearità
dell’operatore di proiezione. Chiaramente la (1.2) implica la (1.1) dato che u − v ∈ V0 per ogni v ∈ V0 .
Viceversa, valga la (1.1) e sia v ∈ V0 . Siccome u±v ∈ V0 deduciamo Re(u−w, v) = 0 . Se K = R abbiamo
concluso. Se K = C , usiamo il fatto che u ± iv ∈ V0 e deduciamo che si ha anche Im(u − w, v) = 0 . Per
quanto riguarda la linearità dell’operatore di proiezione, basta osservare che, se ui verifica la (1.2) con
w = wi per i = 1, 2 e se λi ∈ K , allora u = λ1u1 + λ2u2 verifica la (1.2) con w = λ1w1 + λ2w2 .
Nel caso del sottospazio si parla abitualmente di proiezione ortogonale anziché semplicemente
di proiezione. In generale l’esistenza di un prodotto scalare consente di dare una nozione di ortogonalità
e risulta conveniente esprimere vari risultati facendo intervenire tale nozione.
1.11. Definizione. Siano H uno spazio prehilbertiano. Due elementi x, y ∈ H si dicono ortogonali
quando (x, y) = 0 .
1.12. Osservazione. La (1.2) può allora essere espressa dicendo che la differenza w − u è
ortogonale a tutti gli elementi di V0 . Osserviamo in generale che, se x e y sono ortogonali fra
loro, vale la relazione pitagorica
�x + y� 2 = �x� 2 + �y� 2
come si vede usando la formula del binomio. In particolare abbiamo allora
�w� 2 = �PV0 w�2 + �w − PV0 w�2 per ogni w ∈ H .
Su questi punti, tuttavia, torneremo successivamente e generalizzaremo il tutto al caso di un numero
finito o addirittura di una serie di vettori.
1.13. Esempio. Siano H uno spazio di Hilbert e u0 un elemento non nullo di H . Cerchiamo
la proiezione ortogonale del generico u ∈ H sul sottospazio V0 = span{u0} generato da u0 . Essa
deve avere la forma cu0 per un certo c ∈ K e la determinazione del valore di c è immediata:
(u − cu0, v) = 0 per ogni v ∈ V0 da cui (u − cu0, u0) = 0 da cui c =
Abbiamo pertanto il risultato
la proiezione di u ∈ H sul sottospazio generato da u0 �= 0 è il vettore
che in seguito generalizzeremo notevolmente.
(u, u0)
.
�u0�2 (u, u0)
u0 (1.3)
�u0�2 1.14. Esercizio. Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura con µ(Ω) < +∞ e sia V0 il sottospazio
delle funzioni costanti. Si calcoli la proiezione su V0 del generico elemento w ∈ L 2 (Ω) .
1.15. Esercizio. Sia H lo spazio L 2 (0, 1) reale munito del prodotto scalare definito dalla for-
mula (u, v) = � 1
0 ex u(x) v(x) dx . Si dimostri che H è completo e si calcoli la proiezione del
generico elemento w ∈ H sul sottospazio generato dalla funzione costante 1 .
1.16. Esercizio. Siano H = L 2 (−1, 1) con il prodotto scalare usuale e w ∈ H . Si verifichi
che il sottospazio Hp delle funzioni pari è chiuso e che la proiezione u di w su Hp è data dalla
formula u(x) = (w(x) + w(−x))/2 .
1.17. Esercizio. Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -finito e ω un sottoinsieme misurabile
di Ω . Determinare l’operatore di proiezione in L 2 (Ω) sul sottospazio delle funzioni nulle in ω .
1.18. Esercizio. Con le notazioni dell’esercizio precedente, si supponga 0 < µ(ω) < +∞ e si
determini l’operatore di proiezione in L2 (Ω) sul sottospazio delle funzioni verificanti �
v dµ = 0 .
Analisi Funzionale
ω
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