G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 3
3.7. Esercizio. Descrivere come si rappresenta il duale dello spazio Lp (Ω; Rm ) delle funzioni a
valori in Rm misurabili e di potenza p -esima sommabile (munito della norma naturale) in termini
di funzioni di Lp′ (Ω; Rm ) per 1 ≤ p < +∞ .
3.8. Esercizio. Siano V e W due spazi normati e L ∈ L(V ; W ) un isomorfismo. Dimostrare
che V ∗ e W ∗ sono pure isomorfi construendo esplicitamente un isomorfismo. Precisare ciò che
avviene quando L è un isomorfismo isometrico.
3.9. Esercizio. Dimostrare che il duale di uno spazio normato e quello del suo completamento
sono isometricamente isomorfi costruendo esplicitamente un isomorfismo isometrico.
Il prossimo risultato riguarda la rappresentazione dei duali di alcuni degli spazi costruiti nel
Teorema I.6.1. La dimostrazione che diamo, tuttavia, fa riferimento, nel caso del duale del sottospazio,
al Teorema di Hahn-Banach che introduciamo in un capitolo successivo.
3.10. Teorema. Siano (V, � · �V ) e (W, � · �W ) due spazi normati. Allora il duale di (V × W ) ∗
è isometricamente isomorfo a V ∗ × W ∗ . Sia poi V0 un sottospazio vettoriale di V e si definisca
l’ortogonale V ⊥
0 di V0 in V ∗ mediante la formula
Allora V ⊥
della norma indotta, il suo duale V ∗
V ⊥
0 = {f ∈ V ∗ : 〈f, v〉 = 0 per ogni v ∈ V0 }.
0 è un sottospazio chiuso di V ∗ e valgono le conclusioni seguenti: i) se V0 è munito
0 è isometricamente isomorfo al quoziente V ∗ /V ⊥
0 ; ii) se V0
è chiuso, il duale V ∗
• del quoziente V• = V/V0 è isometricamente isomorfo a V ⊥
0 .
Dimostrazione. Per ogni f ∈ V ∗ e g ∈ W ∗ , si costruisca ϕ : V × W → K mediante
ϕ(v, w) = 〈f, v〉 + 〈g, w〉 per v ∈ V e w ∈ W . (3.7)
Allora si verifica senza difficoltà che ϕ ∈ (V ×W ) ∗ e che l’applicazione L che a ogni coppia (f, g) ∈ V ∗ ×W ∗
associa la ϕ corrispondente è lineare da V ∗ × W ∗ in (V × W ) ∗ . Essa è anche suriettiva, in quanto, data
ϕ ∈ (V × W ) ∗ , i funzionali f e g definiti da f(v) = 〈ϕ, (v, 0)〉 per v ∈ V e g(w) = 〈ϕ, (0, w)〉 per
w ∈ W appartengono a V ∗ e a W ∗ rispettivamente e risulta ϕ = L(f, g) . Dimostriamo infine che L
è un’isometria, cioè che �L(f, g)� (V ×W ) ∗ = �(f, g)�V ∗ ×W ∗ per ogni f ∈ V ∗ e ogni g ∈ W ∗ . Fissiamo
dunque f ∈ V ∗ e g ∈ W ∗ supponendo senz’altro (f, g) �= (0, 0) , poniamo ϕ = L(f, g) e, per semplificare
le notazioni e dato che non possono sorgere equivoci, usiamo lo stesso simbolo � · � per tutte le norme che
intervengono. Verifichiamo le due disuguaglianze. La prima è immediata: se (v, w) ∈ V × W si ha
|〈ϕ, (v, w)〉| ≤ |〈f, v〉| + |〈g, w〉| ≤ �f� �v� + �g� �w�
≤ � �f� 2 + �g� 2� 1/2� �v� 2 + �w� 2 � 1/2 = �(f, g)� �(v, w)�
l’ultima disuguaglianza grazie alla disuguaglianza di Schwarz per la norma euclidea in R 2 , da cui appunto
�ϕ� ≤ �(f, g)� . Il controllo della disuguaglianza opposta è più laborioso, ma basta dimostrare che, per ogni
ε > 0 , risulta �ϕ� ≥ �(f, g)� − 2ε . Fissiamo dunque ε > 0 ad arbitrio. Per definizione di �f� esiste
v0 ∈ V tale che �v0� = 1 e |〈f, v0〉| ≥ �f� − ε . Sia ϑ ∈ R tale che 〈f, v0〉 = |〈f, v0〉|e iϑ (naturalmente
ϑ = 0 oppure ϑ = π nel caso reale) e poniamo v = e −iϑ �f� v0 . Allora �v� = �f� . Inoltre, come ora
vediamo, 〈f, v〉 è un numero reale non negativo che verifica una disuguaglianza. Abbiamo infatti
〈f, v〉 = e −iϑ �f�〈f, v0〉 = �f� |〈f, v0〉| da cui 〈f, v〉 = �f� |〈f, v0〉| ≥ �f� (�f� − ε) = �f� 2 − ε�v�.
Analogamente si costruisce w ∈ W tale che �w� = �g� e 〈g, w〉 sia reale non negativo e verifichi la
disuguaglianza 〈g, w〉 ≥ �g� 2 − ε�w� . Allora, essendo (f, g) �= (0, 0) , �v� = �f� e �w� = �g� , si ha che
(v, w) �= (0, 0) . Inoltre anche 〈ϕ, (v, w)〉 è reale non negativo e risulta
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〈ϕ, (v, w)〉 = 〈f, v〉 + 〈g, w〉 ≥ �f� 2 + �g� 2 − ε(�v� + �w�)
= � �f� 2 + �g� 2� 1/2� �v� 2 + �w� 2 � 1/2 − ε(�v� + �w�) ≥ �(f, g)� �(v, w)� − 2ε�(v, w)�.
Gianni Gilardi