G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Operatori e funzionali
Dunque la funzione u costruita appartiene a L q (Ω) in ogni caso e possiamo concludere velocemente la
dimostrazione nell’ipotesi µ(Ω) < +∞ che stiamo supponendo verificata. Infatti l’uguaglianza fra il primo e
l’ultimo membro della (3.5) può essere riscritta nella forma 〈f, v〉 = 〈Rpu, v〉 per ogni funzione semplice v .
Siccome l’insieme delle funzioni semplici è denso in L p (Ω) dato che p < +∞ , concludiamo che f = Rpu .
Lo spazio di misura sia ora solo σ -finito e sia {Ωn} una successione non decrescente di insiemi Ωn ∈ M
di misura finita la cui unione sia Ω . Fissato f ∈ L p (Ω) ad arbitrio, per ogni n definiamo fn : L p (Ωn) → R
mediante la formula fn(v) = 〈f, �v〉 ove �v è il prolungamento di v nullo fuori di Ωn , prolungamento che
appartiene appunto a L p (Ω) , per cui la definizione data ha senso. Il funzionale fn è ovviamente lineare.
Per ogni v ∈ L p (Ωn) si ha inoltre |fn(v)| = |〈f, �v〉| ≤ �f�∗��v�p = �f�∗�v�p così che fn è anche continuo
e la sua norma verifica la disuguaglianza �fn�∗ ≤ �f�∗ . Per la prima parte della dimostrazione esiste
un ∈ L q (Ω) la cui immagine tramite la mappa di Riesz di L p (Ωn) sia fn . Mostriamo ora che la restrizione
di un+1 a Ωn coincide con un . Sia infatti v ∈ L p (Ωn) . Per non usare lo stesso simbolo con più significati
diversi denotiamo con �vn il prolungamento di v a Ω nullo fuori di Ωn , con vn+1 la restrizione di questo
a Ωn+1 e con �vn+1 il prolungamento di vn+1 a Ω nullo fuori di Ωn+1 . Allora �vn = �vn+1 , per cui
�
Ωn
� un+1|Ωn
�
�
v dµ =
Ωn+1
�
un+1vn+1 dµ = 〈fn+1, vn+1〉 = 〈f, �vn+1〉 = 〈f, �vn〉 = 〈fn, v〉 =
Ωn
unv dµ.
Per l’arbitrarietà di v segue quanto asserito. Sia allora u : Ω → R la funzione misurabile le cui restrizioni
agli insiemi Ωn sono le rispettive funzioni un . Si ha per ogni n
�u|Ωn�q = �un�q = �fn�∗ ≤ �f�∗ .
Ciò mostra che u ∈ L q (Ω) , sia nel caso q < +∞ sia nel caso q = +∞ per cui possiamo confrontare f
con Rpu . Sia v ∈ L p (Ω) nulla fuori di almeno uno degli insiemi Ωn . Fissato n con tale proprietà abbiamo
〈f, v〉 = 〈f, � v|Ωn 〉 = 〈fn,
�
�
� �
v|Ωn 〉 = un v|Ωn dµ = uv dµ = 〈Rpu, v〉.
Ωn
Ω
Siccome l’insieme delle v ∈ L p (Ω) che sono nulle fuori di almeno uno degli Ωn è denso in L p (Ω) , concludiamo
che f = Rpu .
3.5. Esercizio. In relazione allo spazio con peso introdotto nell’Esempio I.5.28, notiamo che, se
1 ≤ p < +∞ , il teorema precedente fornisce una rappresentazione del duale di L p w(Ω) nella forma
�
〈f, v〉 =
Ω
u v w dµ per v ∈ L p w(Ω)
stabilendo una corrispondenza biunivoca fra f ∈ (L p w(Ω)) ∗ e u ∈ L p′
w (Ω) . Tuttavia il secondo
membro contiene il peso e, dunque, l’integrale è fatto rispetto a una misura diversa da µ . Vorremmo
invece privilegiare la misura µ e avere una formula senza peso, cioè del tipo
�
〈f, v〉 = u v dµ per v ∈ L p w(Ω) .
Ω
Dimostrare che, per 1 < p < +∞ , la cosa funziona se u ∈ L p′
w ∗(Ω) ove w∗ = w −p′ /p . Precisamente
la corrispondenza fra i funzionali f e tali funzioni u stabilita dalla formula è un isomorfismo
isometrico. Si noti che w ∗ = 1/w se p = 2 .
3.6. Esercizio. Per p ∈ [1, +∞) si munisca R n della norma | · |p (formula (I.5.17)) e sia � · �∗
la corrispondente norma duale in (R n ) ∗ . Sia {e 1 , . . . , e n } la base duale in (R n ) ∗ (vedi (3.1))
della base canonica di Rn . Si deduca dal Teorema 3.4 di Riesz che �f�∗ = |(f1, . . . , fn)|p ′ se
f = �n i=1 fiei . Si verifichi poi che, di fatto, lo stesso risultato vale anche per p = +∞ .
Analisi Funzionale
59