G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 3
Usiamo ora l’ipotesi p < +∞ e dimostriamo che l’applicazione Rp è suriettiva. Supponiamo dapprima
µ(Ω) < +∞ e utilizziamo il Teorema di Radon-Nikod´ym. Fissato ad arbitrio f ∈ L p (Ω) ∗ definiamo
l’applicazione ν : M → R ponendo
ν(ω) = 〈f, χ ω〉 per ω ∈ M .
Osserviamo che la definizione ha senso in quanto χ ω ∈ L ∞ (Ω) ⊆ L p (Ω) dato che µ(Ω) < +∞ . Controlliamo
che effettivamente siamo in grado di applicare il Teorema 3.3. La seconda ipotesi è ovviamente soddisfatta:
se µ(ω) = 0 allora χ ω = 0 per cui ν(ω) = 〈f, 0〉 = 0 per la linearità di f . Controlliamo la condizione di
σ -additività. Siano ωn ∈ M a due a due disgiunti e sia ω la loro unione. Allora risulta
χ ω =
∞�
χωn n=1
nel senso della convergenza in L p (Ω)
come ora mostriamo usando l’ipotesi p < +∞ . Abbiamo infatti
�
�
�χ ω −
n� �
χ �
ωk�
p �
�
= � � �
χ �
ωk�
p �
�
= �χ�
k=1
k>n
k>n ωk
�
�
� p
� �
= µ
k>n
ωk
�
= �
µ(ωk) = µ(ω) −
k>n
n�
µ(ωk)
e l’ultimo membro è infinitesimo per n → ∞ . Per il Teorema 3.3, dunque, esiste u ∈ L 1 (Ω) tale che valga
la (3.4). Sia ora v una funzione semplice, cioè una combinazione lineare finita v = � m
i=1 ci χ ωi di funzioni
caratteristiche di insiemi ωi ∈ M . Allora abbiamo subito
m�
m�
m�
〈f, v〉 = ci〈f, χωi 〉 = ciν(χωi ) =
i=1
i=1
i=1
ci
�
ωi
u dµ =
m�
i=1
ci
�
Ω
�
u χωi dµ =
Ω
k=1
uv dµ. (3.5)
Il prossimo passo consiste nel dimostrare che u ∈ Lq (Ω) . Osserviamo che la (3.5) implica
�
uv = 〈f, v〉 ≤ �f�∗�v�p per ogni funzione v semplice (3.6)
Ω
e ora sfruttiamo bene questa informazione. Se p = 1 dobbiamo dimostrare che u ∈ L ∞ (Ω) . Dimostriamo
che |u| ≤ �f�∗ q.o. in Ω . Per assurdo questa disuguaglianza sia falsa. Allora u �= 0 e, ragionando come
nella prima parte della dimostrazione, vediamo che esistono una costante M > �f�∗ e un insieme ω ∈ M
tale che |u| ≥ M in ω e possiamo scegliere v = χ ω come funzione semplice. Abbiamo allora
�
〈f, v〉 =
Ω
�
uv dµ =
ω
|u| dµ ≥ Mµ(ω) e 〈f, v〉 ≤ �f�∗�v�1 = �f�∗µ(ω)
il che è assurdo. Supponiamo ora p ∈ (1, +∞) . Con metodi standard costruiamo una successione non
decrescente {wn} di funzioni semplici e non negative convergente a |u| q q.o. in Ω . Ad esempio, per ogni
n intero positivo, possiamo introdurre gli insiemi misurabili, mutuamente disgiunti e aventi Ω come unione
ωmn = {x ∈ Ω : m2 −n ≤ |u(x)| q < (m + 1)2 −n } per 0 ≤ m < n2 n
ωn = {x ∈ Ω : |u(x)| q ≥ (n + 1)2 −n }
e definire wn ponendo wn(x) = m2 −n se x ∈ ωmn , ciò per 0 ≤ m < n2 n , e wn(x) = n + 1 se x ∈ ωn .
Allora, usando la (3.6) con la funzione semplice vn = w 1/p
n sign u , deduciamo
� �
�wn�1 = wn dµ =
Ω
Ω
w 1/q
n w 1/p
�
n dµ ≤ |u|w
Ω
1/p
n dµ =
�
uvn dµ ≤ �f�∗�vn�p = �f�∗�wn�
Ω
1/p
1
e quindi anche �wn�1 ≤ �f� q ∗ . Pertanto siamo nelle condizioni di poter applicare il Teorema di Beppo Levi
e dedurre che |u| q ∈ L 1 (Ω) , cioè che u ∈ L q (Ω) .
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Gianni Gilardi