G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Operatori e funzionali
Si noti che, se p = 2 , ricadiamo nel caso dell’Esempio 3.2, almeno nel caso reale (nel caso complesso
occorre sistemare qualche segno di coniugato) e, per estensione, si potrebbe pensare che ogni
funzionale lineare continuo su L p (Ω) sia di quel tipo. Ciò, invece, è vero se 1 ≤ p < +∞ ma
vero anche per p = +∞ solo in situazioni estremamente particolari, precisamente quando lo spazio
di misura (Ω, M, µ) è tale da rendere L p (Ω) finito-dimensionale. Abbiamo il risultato dato di
seguito, pure dovuto a Riesz. Lo deriviamo da un importante teorema della teoria della misura che
enunciamo soltanto. Esso è una versione ridotta (precisamente relativa al solo caso µ(Ω) < +∞
e ν a valori finiti) di un più generale Teorema di Radon-Nikod´ym. Segnaliamo che la funzione u
data dal teorema è unica. Essa è detta derivata di ν rispetto a µ e viene denotata con dν/dµ .
3.3. Teorema (di Radon-Nikod´ym). Sia (Ω, M, µ) uno spazio di misura finito. Sia inoltre
ν : M → R un’applicazione verificante le condizioni seguenti:
� �∞
i) ν
n=1
ωn
�
=
∞�
n=1
ν(ωn) per ogni successione di sottoinsiemi ωn ∈ M
a due a due disgiunti
ii) ω ∈ M e µ(ω) = 0 implicano ν(ω) = 0.
Allora esiste u ∈ L1 (Ω) tale che
�
ν(ω) =
ω
u dµ per ogni ω ∈ M . (3.4)
3.4. Teorema (di rappresentazione di Riesz). Siano (Ω, M, µ) uno spazio di misura σ -
finito e 1 ≤ p ≤ +∞ . Allora la mappa di Riesz (3.3) è lineare e isometrica dallo spazio Lp′ (Ω)
nello spazio duale L p (Ω) ∗ di L p (Ω) . Se p < +∞ essa è anche suriettiva.
Dimostrazione. Per semplicità consideriamo solo il caso degli spazi reali e osserviamo che la linearità
di Rp è ovvia. Poniamo q = p ′ per comodità e dimostriamo che Rp è un’isometria. Per u ∈ L q (Ω) e
v ∈ L p (Ω) , grazie alla disuguaglianza di Hölder, abbiamo
��
�
|〈Rpu, v〉| = �
Ω
�
�
uv dµ � ≤ �u�q�v�p
da cui �Rpu�∗ ≤ �u�q . Per dimostrare la disuguaglianza opposta supponiamo u �= 0 (altrimenti la
situazione è banale), usiamo la convenzione sign 0 = 0 e distinguiamo tre casi. Se p = 1 , per cui q = +∞ ,
ragioniamo per assurdo. Supponiamo dunque �R1u�∗ < �u�∞ e osserviamo che esiste M > �R1u�∗ tale
che l’insieme {x ∈ Ω : |u(x)| ≥ M} abbia misura positiva. Dunque esso contiene un insieme ω di misura
finita e ancora positiva. Allora la funzione v = χ ω sign u appartiene a L 1 (Ω) e risulta
�
Mµ(ω) ≤
ω
�
|u| dµ =
Ω
uv dµ = 〈R1u, v〉 ≤ �R1u�∗�v�1 = �R1u�∗µ(ω)
e ciò è assurdo. Sia ora p = +∞ , per cui q = 1 . Allora, posto v = sign u , si ha v ∈ L∞ (Ω) e quindi
�
�u�1 = uv dµ = 〈R∞u, v〉 ≤ �R∞u�∗�v�∞ = �R∞u�∗ .
Ω
Infine, nel caso p ∈ (1, +∞) scegliamo v = |u| q−1 sign u , osservando che |v| p = |u| q in quanto (q −1)p = 1 ,
così che v ∈ L p (Ω) . Abbiamo dunque
�u� q q =
�
Ω
|u| q �
dµ =
e dividendo per �u� q/p
q
Analisi Funzionale
Ω
uv dµ = 〈Rpu, v〉 ≤ �Rpu�∗�v�p = �Rpu�∗
otteniamo �u�q ≤ �Rpu�∗ .
� �
Ω
|u| (q−1)p �1/p dµ = �Rpu�∗�u� q/p
q
57