G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 1
2.2. Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale e p : V → R una seminorma in V . Allora
|p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) per ogni x, y ∈ V (2.4)
p(0) = 0 e p(x) ≥ 0 per ogni x ∈ V . (2.5)
Dimostrazione. Per la (2.1) si ha subito p(x) ≤ p(x − y) + p(y) e p(y) ≤ p(y − x) + p(x) . D’altra parte
p(y − x) = p(x − y) per la (2.2) con λ = −1 . Combinando si ottiene la (2.4). Applicando la (2.2) con λ = 0
e x = 0 si deduce p(0) = 0 . Dunque, per ogni x , anche p(x) = p(x − 0) ≥ |p(x) − p(0)| = |p(x)| ≥ 0 .
2.3. Esercizio. Si dimostri che, se p è una seminorma nello spazio vettoriale V , l’insieme
N(p) = {x ∈ V : p(x) = 0} è un sottospazio vettoriale di V . Esso è chiamato nucleo di p .
2.4. Definizione. Sia V uno spazio vettoriale. Un forma bilineare in V è un’applicazione
b : V × V → K che verifica
b(αx + βy, z) = α b(x, z) + β b(y, z) e b(z, αx + βy) = α b(z, x) + β b(z, y)
per ogni x, y, z ∈ V e α, β ∈ K . Un forma sesquilineare V è un’applicazione b : V × V → K che
verifica
b(αx + βy, z) = α b(x, z) + β b(y, z) e b(z, αx + βy) = α b(z, x) + β b(z, y)
per ogni x, y, z ∈ V e α, β ∈ K . Una forma bilineare b è detta simmetrica quando
b(y, x) = b(x, y) per ogni x, y ∈ V
e una forma sesquilineare b è detta hermitiana quando
b(y, x) = b(x, y) per ogni x, y ∈ V .
2.5. Osservazione. Naturalmente, se K = R , coincidono i concetti di forma bilineare e di forma
sesquilineare, così come quelli di forma simmetrica e di forma hermitiana. Per unificare i due casi,
dunque, possiamo parlare solo di forme sesquilineari e di forme hermitiane. Si vede subito che per
ogni forma sesquilineare hermitiana valgono le proprietà
i) b(x, x) ∈ R per ogni x ∈ V , nei casi K = R, C
ii) b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2 Re b(x, y) + b(y, y) per ogni x, y ∈ V , nei casi K = R, C
iii) b(x + iy, x + iy) = b(x, x) + 2 Im b(x, y) + b(y, y) per ogni x, y ∈ V , se K = C.
La i) giustifica eventuali ipotesi sul segno di b(x, x) e le altre due possono ragionevolmente essere
chiamate formule del binomio. Si noti che, scrivendo queste ultime con ±y anziché con y e
combinando, si ottengono le formule
iv) b(x, y) = 1
�
4
v) b(x, y) = 1
4
�
b(x + y, x + y) − b(x − y, x − y)
�
�
b(x + y, x + y) − b(x − y, x − y) + i
�
�
b(x + iy, x + iy) − b(x − iy, x − iy)
4
valide per ogni x, y ∈ V nei casi K = R e K = C rispettivamente.
2.6. Definizione. Sia V uno spazio vettoriale. Una forma b sesquilineare hermitiana in V
è detta semidefinita positiva quando b(x, x) ≥ 0 per ogni x ∈ V e definita positiva quando
b(x, x) > 0 per ogni x �= 0 . Un prodotto scalare in V è una forma sesquilineare hermitiana
definita positiva.
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Gianni Gilardi