G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

2. Lo spazio duale
Operatori e funzionali
Lo spazio duale dello spazio normato V si ottiene specializzando lo spazio L(V ; W ) e prendendo
come W lo spazio K degli scalari.
2.1. Definizione. Se (V, � · �) è uno spazio normato, lo spazio V ∗ = L(V ; K) si chiama duale
di V . La norma � · �∗ = � · � L(V ;K) si chiama norma duale della norma � · � .
Va detto che le notazioni possono variare. Spesso il duale di V è denotato con V ′ e alcuni
usano il simbolo V ∗ per denotare il duale algebrico di V , cioè lo spazio Hom(V ; K) .
2.2. Osservazione. Per f ∈ V ∗ abbiamo dunque
�f�∗ = sup
x∈V \{0}
|f(x)|
�x�
= inf{M ≥ 0 : |f(x)| ≤ M�x� per ogni x ∈ V }
(e potremmo continuare con una catena di uguaglianze in accordo con la Proposizione 1.1). Osserviamo
inoltre che l’estremo inferiore che compare nella formula precedente è, di fatto, un minimo.
Notiamo poi che, nel caso degli spazi reali, il modulo è superfluo: infatti uno dei due numeri reali
f(±x) = ±f(x) è non negativo e �−x� = �x� . Collegandoci infine all’Osservazione 1.18, se
f è definito solo su un sottospazio D(L) ed è lineare e continuo (rispetto alla topologia indotta
da V su D(L) ) la sua norma �f�∗ è la minima delle costanti M che verificano, ad esempio,
|f(x)| ≤ M�x� per ogni x ∈ D(L) . La notazione �f�∗ non è in questo caso ambigua, dato che
il dominio di f è parte essenziale del funzionale f stesso. In particolare, se F è un’estensione
di F , ha senso confrontare �f�∗ con �F �∗ e si vede subito che �F �∗ ≥ �f�∗ .
Tuttavia, se f ∈ V ∗ e x ∈ V , si preferisce sostituire il simbolo f(x) con uno diverso. Osservato
che l’applicazione (f, x) ↦→ f(x) di V ∗ × V in K è una forma bilineare, diamo la seguente
2.3. Definizione. Siano V uno spazio normato e V ∗ il suo duale. La forma bilineare su V ∗ ×V
che a ogni (f, x) ∈ V ∗ × V associa f(x) si chiama dualità fra V ∗ e V e si denota con uno dei
due simboli 〈 · , · 〉 o V ∗〈 · , · 〉V .
2.4. Osservazione. Abbiamo dunque
〈f, x〉 = f(x) e |〈f, x〉| ≤ �f�∗�x� per ogni x ∈ V e f ∈ V ∗ (2.1)
dato che la definizione di �f�∗ si riscrive come
�f�∗ = sup
x∈V \{0}
|〈f, x〉|
�x�
= inf{M ≥ 0 : |〈f, x〉| ≤ M�x� per ogni x ∈ V }
(e potremmo continuare. . . ) il modulo essendo superfluo nel caso degli spazi reali.
Come ovvio corollario del Teorema 1.20 abbiamo l’importante risultato seguente:
2.5. Teorema. Il duale di ogni spazio normato è uno spazio di Banach.
2.6. Osservazione. Nel caso di uno spazio normato complesso V si può considerare anche il
cosiddetto antiduale di V : esso è lo spazio dei funzionali f : V → C antilineari e continui.
Tutto quanto abbiamo detto per il duale si potrebbe allora ripetere per l’antiduale, ma preferiamo
semplicemente notare che un funzionale f : V → C appartiene all’antiduale se e solo se il funzionale
f : V → C definito da x ↦→ f(x) appartiene al duale.
2.7. Osservazione. Se V è uno spazio vettoriale e � · � ′ e � · � ′′ sono due norme in V diverse
ma equivalenti, allora i due spazi duali che si ottengono a partire dai due spazi normati sono lo stesso
spazio vettoriale V ∗ . Infatti il concetto di funzionale f : V → K lineare e continuo è lo stesso
nei due casi. Gli spazi normati che si ottengono prendendo in V ∗ le corrispondenti norme duali
� · � ′ ∗ e � · � ′′
∗ , invece, sono diversi, dato che diverse saranno le norme duali. Queste, tuttavia, sono
equivalenti, per cui in V ∗ si ha la stessa topologia. Se, infatti, c1 e c2 verificano le disuguaglianze
�x� ′ ≤ c1�x� ′′ e �x� ′′ ≤ c2�x� ′ per ogni x ∈ V , si ha anche �f� ′′
∗ ≤ c1�f� ′ ∗ e �f� ′ ∗ ≤ c2�f� ′′
∗ per
ogni f ∈ V ∗ .
Analisi Funzionale
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