G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 3
1.18. Osservazione. Naturalmente, se L non è definito in tutto lo spazio, si deve applicare la
definizione precedente con V = D(L) munito della norma indotta. La norma di L è allora la
minima delle costanti M che verificano, ad esempio, �Lx�W ≤ M�x�V per ogni x ∈ D(L) .
1.19. Esercizio. Con le notazioni della Proposizione 1.12 dimostrare che �L� = �L0� .
1.20. Teorema. Siano V e W due spazi normati. Allora l’applicazione di L(V ; W ) in R
definita da L ↦→ �L� L(V ;W ) è una norma in L(V ; W ) . Inoltre, se W è completo, L(V ; W ) è
completo rispetto a tale norma.
Dimostrazione. La verifica delle proprietà della norma è un facile esercizio. Per la completezza usiamo
il Teorema II.1.2. Sia {Ln} una successione di elementi di L(V ; W ) tali che la serie � ∞
n=1 �Ln� converga.
Allora, per ogni x ∈ V e n ≥ 1 , si ha �Lnx� ≤ �Ln� �x� , per cui la serie � ∞
n=1 �Lnx� converge. Siccome
W è completo, converge in W la serie � ∞
n=1 Lnx proprio per il teorema citato. Denotiamo con Lx la
somma di tale serie. Resta dunque definita un’applicazione L : V → W , quella data da x ↦→ Lx , che si
dimostra senza difficoltà essere lineare. Ma siccome tutte le funzioni Ln sono continue e la convergenza
è uniforme al variare di x ∈ B1(0) (Criterio di Weierstrass), la stessa proprietà vale per L . Infine la
convergenza uniforme nella palla B1(0) di V è proprio la convergenza indotta dalla norma di L(V ; W ) .
1.21. Esercizio. Siano A ∈ L(V ; W ) e B ∈ L(W ; Z) ove V , W e Z sono tre spazi normati.
Si dimostri che �BA� L(V ;Z) ≤ �A� L(V ;W )�B� L(W ;Z) .
1.22. Esercizio. Combinare l’esercizio e il teorema precedenti con il Teorema II.1.2 per dimostrare
quanto segue: se V è uno spazio di Banach e A ∈ L(V ; V ) verifica �A� < 1 , allora i) la
serie � ∞
n=0 An converge in L(V ; V ) ; ii) detta I l’applicazione identica, I − A è un isomorfismo;
iii) il suo inverso è la somma della serie considerata. Naturalmente le potenze di A sono definite
da A 0 = I e A n+1 = A n A per ogni n ≥ 0 .
1.23. Esercizio. Dedurre dall’esercizio precedente che l’insieme degli isomorfismi di V in sé è
un aperto dello spazio L(V ; V ) .
1.24. Esercizio. Usare l’Esercizio 1.22 per risolvere l’equazione di Volterra
� x
u(x) = k(x, y) u(y) dy + f(x), x ∈ [0, 1] (1.5)
0
della quale si cercano soluzioni u ∈ C 0 [0, 1] . Nella (1.5) k ∈ C 0 (T ) e f ∈ C 0 [0, 1] sono assegnate
ove T = {(x, y) ∈ [0, 1] 2 : y ≤ x} . Il trucco consiste nel munire lo spazio V = C 0 [0, 1] della
norma � · �λ definita dalla formula �v�λ = sup 0≤x≤1 e −λx |v(x)| , ove λ è un parametro reale. Se
L ∈ L(V ; V ) la corrispondente norma di L varia con λ e si può scegliere λ > 0 opportunamente.
Si verifichi preliminarmente che � · �λ è equivalente alla norma del massimo per ogni λ ∈ R .
Quanto abbiamo detto per gli operatori lineari si generalizza senza particolari difficoltà agli
operatori n -lineari e le stesse considerazioni fatte a proposito dell’antilinearità valgono anche in
questo caso. Abbiamo ad esempio il risultato enunciato di seguito.
1.25. Proposizione. Siano V1, . . . , Vn e W spazi normati e sia L : V1 × . . . × Vn → W
un’applicazione n -lineare. Allora L è continua se e solo se è limitata nel senso seguente: esiste
una costante M ≥ 0 tale che
�L(v1, . . . , vn)�W ≤ M�v1�V1 · . . . · �vn�Vn per ogni (v1, . . . , vn) ∈ V1 × . . . × Vn . (1.6)
1.26. Esercizio. Dimostrare il risultato precedente, eventualmente con n = 2 , e rivedere in
questa ottica la continuità del prodotto scalare e le conseguenze della disuguaglianza di Hölder.
1.27. Definizione. Siano V1, . . . , Vn e W spazi normati e L : V1×. . .×Vn → W un’applicazione
n -lineare continua. La minima delle costanti M che verificano la (1.6) si chiama norma di L .
1.28. Osservazione. Vale l’analogo del Teorema 1.20: se W è completo, lo spazio delle applicazioni
n -lineari di cui sopra è uno spazio di Banach rispetto alla struttura vettoriale naturale e
alla norma data dalla Definizione 1.27. Lasciamo la dimostrazione come esercizio per il lettore.
Notiamo che ciò è senz’altro vero nel caso W = K , lo spazio degli scalari, nel quale si preferisce
usare il termine specifico forma n -lineare anziché quello generico di operatore n -lineare.
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Gianni Gilardi