G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Operatori e funzionali
Ma Ω + (x0) ⊆ Ω , per cui, posto M(x0) = max{1/δ + p/p ′ , 1} supx ′ ∈ω j(x ′ ) , concludiamo che
�
|v| p �
dS ≤ M(x0) (|v| p + |∇v| p ) dx cioè �v| Γ(x0)� p
Lp p
(Γ(x0)) ≤ M(x0)�v� 1,p . (1.4)
Γ(x0)
Ω
Notiamo che i calcoli fatti sono corretti se ϕ è di classe C 1 con gradiente limitato (così che j è
limitata). Dunque ogni punto x0 ∈ Γ ha un intorno Ω(x0) in modo che, con le notazioni (1.3),
valga la corrispondente disuguaglianza (1.4) per ogni v ∈ C ∞ (Ω) e per una certa costante M(x0) .
Ora “incolliamo” le stime locali come segue. Consideriamo, per ogni x0 ∈ Γ , l’intorno aperto
Ω(x0) e la costante M(x0) . La famiglia descritta da Ω(x0) al variare di x0 in Γ ricopre Γ . Ma
Γ è un compatto dato che Ω è limitato. Possiamo dunque estrarre una famiglia finita che ancora
ricopra Γ . Abbiamo pertanto aperti Ωk , k = 1, . . . , m , e altrettante costanti Mk tali che, posto
per comodità Γk = Γ ∩ Ωk , valgano le disuguaglianze
Γ =
m�
k=1
Γk e �v|Γk�p Lp p
(Γk) ≤ Mk�v�1,p per k = 1, . . . , m e per ogni v ∈ C∞ (Ω) .
Per ogni v ∈ C∞ (Ω) abbiamo pertanto
�v|Γ� p
Lp (Γ) =
�
|v|
Γ
p m�
�
dS ≤
k=1
Γk
|v| p dS =
m�
�v|Γk�p ≤
k=1
con ovvia definizione di M . Con tale M , dunque, vale la (1.2).
1.14. Esercizio. Trattare il caso p = 1 .
m�
k=1
Mk�v� p
1,p = M p �v� p
1,p
1.15. Osservazione. Segnaliamo che, di fatto, gli stessi calcoli che ci hanno condotto alla (1.4)
continuano ad essere corretti se ϕ è solo lipschitziana. Infatti si può dimostrare che, in tali condizioni,
ϕ è differenziabile q.o. in ω con gradiente limitato (Teorema di Rademacher) e che la
sostituzione dS = j(x ′ ) dx ′ per il calcolo dell’integrale “di superficie” è ancora corretta (“formula
dell’area”). Dunque la dimostrazione data della continuità di L0 è corretta anche in questa situazione
più generale. D’altra parte, in queste stesse ipotesi, si può dimostrare che C ∞ (Ω) è denso
in W 1,p (Ω) (naturalmente se p < +∞ ), per cui il Teorema di traccia (1.1) continua a valere. Nelle
stesse ipotesi si può anche dimostrare il risultato seguente (si riveda la (II.3.6) per la definizione
di W 1,p
0 (Ω) ): una funzione v ∈ W 1,p (Ω) appartiene al sottospazio W 1,p
0 (Ω) se e solo se v|Γ = 0 .
1.16. Esempio. L’ipotesi dell’aperto lipschitziano, però, non può essere lasciata cadere, come
mostra l’esempio seguente. Sia Ω l’aperto {(x, y) ∈ (0, 1) 2 : y < exp(−1/x)} , che presenta una
cuspide “uscente”. Posto v(x, y) = 1/x per (x, y) ∈ Ω , un calcolo immediato mostra che
�
(|v| p + |∇v| p ) dx dy < +∞ e
� 1
|v(x, 0)| p dx = +∞ per ogni p ∈ [1, +∞) .
Ω
0
Dunque si intuisce che non può valere una stima di tipo (1.2). Per vedere chiaramente che tale
stima è falsa dobbiamo costruire, in sostituzione di v , funzioni dello spazio C ∞ (Ω) che svolgano
un ruolo analogo: possiamo prendere vε(x, y) = 1/(x + ε) per (x, y) ∈ Ω e ε ∈ (0, 1) . Allora un
calcolo quasi altrettanto immediato mostra che l’integrale al secondo membro della (1.2), calcolato
con vε , si mantiene limitato al tendere di ε a 0 , mentre il primo membro no.
Chiusa questa lunga parentesi, torniamo alla teoria generale e organizziamo l’insieme degli
operatori lineari e continui da uno spazio normato in un altro come un nuovo spazio normato.
1.17. Definizione. Siano V e W due spazi normati. Lo spazio vettoriale degli operatori lineari
L ∈ Hom(V ; W ) che sono anche continui è denotato con L(V ; W ) . Se L ∈ L(V ; W ) , la minima
delle costanti M ≥ 0 che verificano le condizioni i), . . . , iv) della Proposizione 1.1 è detta norma
di L e denotata con �L� oppure con �L� L(V ;W ) .
Analisi Funzionale
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