G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Operatori e funzionali
1.11. Definizione. Siano V e W due spazi normati. Un operatore lineare non limitato di V
in W è un operatore L ∈ Hom(D(L); W ) il cui dominio D(L) è un sottospazio vettoriale di V .
Naturalmente il primo esempio di operatore lineare non limitato è quello degli operatori lineari
limitati, cioè limitati nel senso della Definizione 1.2, essendo sottinteso che D(L) è munito della
norma indotta da quella di V . Infatti, quando si dice “non limitato”, si vuole solo sottolineare che
non si sta facendo l’ipotesi che l’operatore in questione sia limitato.
Tuttavia, quando il codominio W è uno spazio di Banach, sostanzialmente non è restrittivo
supporre che il dominio dell’operatore limitato considerato sia un sottospazio chiuso grazie al risultato
generale che diamo di seguito. In particolare, anziché operatori lineari limitati con dominio
denso, consideriamo operatori lineari limitati definiti in tutto lo spazio. Gli operatori lineari con
dominio denso (e non chiuso) degni di considerazione sono solo quelli “davvero non limitati”.
1.12. Proposizione. Siano V e W due spazi normati e L0 : D(L0) → W un operatore lineare.
Se L0 è continuo e W è completo, allora esiste uno e un solo operatore L : D(L0) → W lineare
continuo che prolunga L0 .
Dimostrazione. Infatti, data la linearità e la limitatezza di L0 , segue che L0 è una funzione uniformemente
continua. Allora, per la Proposizione A.1.27, esiste un unico prolungamento L continuo definito nella
chiusura D(L0) . Ma tale prolungamento è anche lineare, come si verifica immediatamente.
1.13. Osservazione. Il risultato precedente ha un’importanza che va oltre le motivazioni che
abbiamo dato sopra. Apriamo una parentesi per darne un’applicazione significativa che riguarda
gli spazi di Sobolev W 1,p (Ω) : il cosiddetto Teorema di traccia. Focalizziamo il problema. Gli
elementi di W 1,p (Ω) sono particolari elementi di L p (Ω) , dunque classi di funzioni misurabili.
Ora, se u è una di tali classi e S è un sottoinsieme misurabile di Ω , si può certamente definire
u|S come la classe costituita dalle restrizioni a S degli elementi di u , dato che tali restrizioni
risultano fra loro equivalenti. Tuttavia si ottiene una definizione significativa solo se S ha misura
positiva, ad esempio, se S = ω , un aperto non vuoto di Ω (in tal caso, se u ∈ W 1,p (Ω) , si
vede facilmente che u|ω ∈ W 1,p (ω) ). Se invece S ha misura nulla, le restrizioni a S di tutti gli
elementi di u sono equivalenti alla funzione nulla definita in S e la definizione data sopra diventa
improduttiva. Supponiamo ora che u abbia un rappresentante v continuo in tutti i punti di S .
Allora questo è unico e v|S risulta una definizione migliore di u|S . Se poi u ha un rappresentante v
uniformemente continuo, possiamo più in generale supporre S ⊂ Ω : in tal caso u|S è la restrizione a
S del prolungamento di v continuo in Ω . In tali condizioni possiamo prendere come S un insieme
ridotto a un singolo punto x0 e definire in tal modo u(x0) , oppure S = Γ , la frontiera di Ω ,
e definire u|Γ . Tuttavia, se p ≤ d , il generico elemento di u ∈ W 1,p (Ω) non ha rappresentanti
continui (si rivedano l’Osservazione I.5.71 e l’Esempio II.2.14). D’altra parte, se Ω è regolare, la
sua frontiera Γ ha misura nulla. Vediamo allora che la definizione di u|Γ diventa problematica.
D’altra parte è importante darne una e la chiave di volta è l’uso della Proposizione 1.12. Ecco come
si può procedere. Si considerano gli spazi V = W 1,p (Ω) e W = L p (Γ) (costruito naturalmente a
partire dalla misura “superficiale” dS su Γ , non certo dalla misura di Lebesgue d -dimensionale),
il sottospazio V0 = C ∞ (Ω) e l’operatore L0 : V0 → W definito da L0v = v|Γ (l’usuale restrizione
se si pensa v definita in Ω ; la restrizione a Γ del prolungamento continuo di v a Ω se si pensa
v definita solo in Ω ) e si cerca di applicare proprio la Proposizione 1.12. Se L0 è continuo e V0 è
denso in V , allora esiste uno e un solo operatore L ∈ L(V ; W ) che prolunga L0 , cioè che verifica
Lv = v|Γ per ogni v ∈ V0 . Dopo di che si usa ancora il simbolo u|Γ per denotare Lu anche
quando u ∈ V . Ebbene la continuità e la densità desiderate sono entrambe vere se si suppone Ω
limitato e regolare e 1 ≤ p < +∞ (se p = ∞ cade la densità, ma questo caso non è interessante
dato che gli elementi di W 1,∞ (Ω) hanno rappresentanti lipschitziani). Dunque si conclude che
Analisi Funzionale
se Ω ⊆ R d è limitato e regolare e p ∈ [1, +∞) , esiste uno e un
solo operatore, denotato v ↦→ v|Γ , lineare e continuo da W 1,p (Ω) in
L p (Γ) tale che v|Γ abbia il significato abituale per ogni v ∈ C ∞ (Ω) . (1.1)
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