G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 3
Operatori e funzionali
Ricordiamo che un operatore lineare fra spazi normati non è necessariamente continuo e la
Proposizione I.4.9 fornisce, nel quadro più generale degli spazi vettoriali topologici, una caratterizzazione
degli operatori lineari che sono anche continui. Qui ci limitiamo al caso degli spazi normati.
Particolare importanza riveste poi il caso in cui l’operatore è a valori scalari: in tali condizioni si
preferisce usare il termine funzionale anziché quello generale di operatore.
1. Operatori lineari
Il concetto importante che riguarda la continuità di un operatore è quello di limitatezza, ma non
nel senso usuale del termine, in quanto, se V e W sono due spazi normati e L : V → W è lineare
e non nullo, l’immagine di L non può essere un sottoinsieme limitato di W . Preso infatti x0 ∈ V
tale che Lx0 �= 0 , si ha L(tx0) = tLx0 per ogni t ∈ R e quindi sup x∈V �Lx� = +∞ . Premettiamo
un fatto molto semplice, di dimostrazione immediata.
1.1. Proposizione. Siano V e W due spazi normati e L : V → W lineare. Se M ≥ 0
le condizioni seguenti sono equivalenti: i) �Lx� ≤ M per ogni x ∈ V verificante �x� ≤ 1 ;
ii) �Lx� ≤ M per ogni x ∈ V verificante �x� = 1 ; iii) �Lx� ≤ M�x� per ogni x ∈ V ;
iv) sup x∈V \{0}(�Lx�/�x�) ≤ M .
1.2. Definizione. Siano V e W due spazi normati e L : V → W lineare. Diciamo che L è limitato
quando esiste M ≥ 0 tale che valga una delle condizioni i), . . . , iv) della Proposizione 1.1.
1.3. Esercizio. Dimostrare che, se L è lineare, anche ciascuna delle condizioni elencate di seguito
è equivalente a quella della Proposizione 1.1: i) �Lx� ≤ M per ogni x ∈ V verificante
�x� < 1 ; ii) esiste r > 0 tale che �Lx� ≤ Mr per ogni x ∈ V verificante �x� ≤ r ; iii) esiste
r > 0 tale che �Lx� ≤ Mr per ogni x ∈ V verificante �x� = r ; iv) esiste r > 0 tale che
�Lx� ≤ Mr per ogni x ∈ V verificante �x� < r .
Rienunciamo l’importante Teorema I.4.11 facendo uso della terminologia appena introdotta e
segnaliamo una sua conseguenza importante (oltre ai Corollari I.4.12 e I.4.13).
1.4. Teorema. Siano V e W due spazi normati e L : V → W lineare. Allora L è continuo se
e solo se L è limitato.
1.5. Corollario. Se due spazi normati V e W sono isomorfi, la completezza di uno di essi
implica quella dell’altro.
Dimostrazione. Infatti un isomorfismo L : V → W e il suo inverso L −1 : W → V trasformano successioni
convergenti in successioni convergenti e anche, grazie al fatto che essi sono limitati per il Teorema 1.4,
successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.
1.6. Osservazione. Nel caso complesso si possono considerare anche gli operatori antilineari, in
particolare gli anti-isomorfismi. Naturalmente, se V e W sono spazi vettoriali, un’applicazione
L : V → W è antilineare quando L(αx+βy) = α Lx+β Ly per ogni x, y ∈ V e α, β ∈ C . Un antiisomorfismo
algebrico è un’applicazione antilineare biiettiva e un anti-isomorfismo fra spazi normati
è un anti-isomorfismo algebrico continuo con il suo inverso. Per questi operatori valgono risultati
analoghi a quelli che diamo per gli operatori lineari. Facciamo solo notare che la composizione
di due operatori di cui uno lineare e l’altro antilineare è antilineare e che la composizione di due
operatori antilineari è lineare.