G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Completezza
La definizione della norma in H• è la seguente: per v• ∈ H• poniamo �v•�• = �v ′ �2 se v ∈ v• .
Allora si ha un’immersione naturale I : V → H• , data da Iv = {v + c : c ∈ K} , cioè Iv è
l’integrale indefinito di v ′ . Questa è un’isometria, la sua immagine è densa in H• (ragionamento
analogo a quello dell’esempio precedente basato sul fatto che C ∞ c (R) è denso in L 2 (R) ) e H• è
completo rispetto alla norma � · �• in quanto isometricamente isomorfo a L 2 (R) .
3.26. Esempio. Concludiamo il capitolo con un altro esempio di spazio quoziente. Fissati
l’aperto Ω di R d e k ∈ N , consideriamo lo spazio � C k (Ω) introdotto nella (I.5.22) e muniamolo
della norma definita dalla formula
�v� = inf{��v�k : �v ∈ C k b (Rd ), �v|Ω = v} (3.9)
ove naturalmente � · �k denota la norma in C k b (Rd ) (vedi (I.5.20) e (I.5.19)). Dimostriamo che
esso è completo controllando che è isomorfo a uno spazio completo. Sia V = C k b (Rd ) munito
della norma appena menzionata e sia V0 il suo sottoinsieme costituito dalle funzioni v tali che
v|Ω = 0 . Allora V0 è un sottospazio chiuso (verifica immediata), per cui possiamo considerare il
quoziente V• = V/V0 . Costruiamo un isomorfismo di � C k (Ω) su V• . Sia u ∈ � C k (Ω) . Allora i
prolungamenti di u appartenenti a V costituiscono una classe di equivalenza, cioè un elemento
di V• , che denotiamo con Lu . Si vede senza difficoltà che l’operatore L : � C k (Ω) → V• che risulta
in tal modo definito è lineare. Mostriamo che L è suriettivo. Se v• ∈ V• , fissiamo v ∈ v• e
poniamo u = v|Ω . Allora Lu = v• . Infine, per ogni u ∈ � C k (Ω) , risulta
�Lu�• = inf{�v�k : v ∈ Lu} = inf{�v�k : v ∈ V, v|Ω = u} = �u�
per cui L è addirittura un’isometria. Siccome V è completo (Esercizio I.5.41), anche V• è completo
per il Teorema 1.6. Segue che è completo anche � C k (Ω) rispetto alla norma considerata.
3.27. Osservazione. Torniamo alle situazioni delle Osservazioni I.5.43 e I.5.44, in particolare al
fatto che � C 1 (Ω) non sia chiuso in C 1 (Ω) se Ω è l’aperto con cuspide entrante là considerato. Deduciamo
che lo spazio � C 1 (Ω) non è completo rispetto alla norma indotta dallo spazio C 1 (Ω) , norma
che qui denotiamo con � · �1 . Siccome, al contrario, � C 1 (Ω) è completo rispetto alla norma (3.9) con
k = 1 , norma che qui denotiamo con � · �∼ , concludiamo che le due norme non sono equivalenti.
D’altra parte, banalmente, vale la disuguaglianza
sup
Ω
|v| ≤ sup
Rd |�v| se �v|Ω = v da cui �v�1 ≤ �v�∼ per ogni v ∈ � C1 (Ω) .
Dunque deve essere falsa la disuguaglianza nella direzione opposta, vale a dire, non esiste alcuna
costante M tale che �v�∼ ≤ M�v�1 per ogni v ∈ � C 1 (Ω) .
3.28. Esercizio. In riferimento all’ultima frase dell’osservazione precedente, dimostrare che non
esiste alcun operatore P : � C 1 (Ω) → C 1 b (R2 ) lineare e continuo che sia di prolungamento, cioè
verifichi (P v)|Ω = v per ogni v ∈ � C 1 (Ω) .
3.29. Esercizio. Dimostrare che la successione ottenuta prendendo ε = 1/n nella funzione uε
dell’Osservazione I.5.44 non è di Cauchy nello spazio � C 1 (Ω) rispetto alla norma (3.9) con k = 1 .
Analisi Funzionale
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