G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
che controllare la densità voluta coincide con la verifica di quanto segue: se v è di classe C 1 e v ′
è infinitesima all’infinito, allora esistono vn ∈ C ∞ c (R) tali che v ′ n → v ′ uniformemente. Ebbene
questa affermazione è vera e ora ne diamo una possibile dimostrazione. Sia v come detto. Siccome
C ∞ c (R) è denso nello spazio delle funzioni continue infinitesime all’infinito munito della norma
del massimo, troviamo una successione {wn} di elementi di C ∞ c (R) convergente uniformemente
a v ′ . Come vn , tuttavia, non possiamo prendere una primitiva di wn , dato che può accadere che
nessuna di tali primitive sia a supporto compatto. Occorre quindi correggere la scelta. Fissiamo
τ ∈ C∞ c (R) tale che τ(t) = 0 se t ≤ 0 e τ(t) = 1 se t ≥ 1 e definiamo vn mediante la formula
� x
�
x −
�
xn
vn(x) = wn(t) dt − inτ
−∞
cn
�
ove
in = wn(t) dt, xn è tale che wn = 0 in [xn, +∞) e cn > n|in| .
R
Allora vn ∈ C ∞ c (R) . La regolarità C ∞ è chiara. Se x è negativo di modulo abbastanza grande,
entrambi gli addendi della definizione di vn sono nulli. Se x > xn + cn , allora (x − xn)/cn > 1 e
x > xn , per cui vn(x) = in −in = 0 . Dunque vn è anche una funzione a supporto compatto. Infine
la verifica che v ′ n converge uniformemente a v ′ coincide con il controllo che il termine di correzione
ha derivata che tende a 0 uniformemente. Tale derivata è data dalla formula (in/cn)τ ′ ((x−xn)/cn) ,
per cui la sua norma del massimo risulta ≤ C|in|/cn < C/n ove C = sup |τ ′ | .
3.25. Esempio. Posto V = C ∞ c (R) , si osservi che, se v ∈ V , allora v ′ ∈ L 2 (R) e che se
�v ′ �2 = 0 allora v = 0 . Dunque la formula �v� = �v ′ �2 definisce una norma in V . Si pone
il problema di trovare un completamento concreto e la situazione è analoga a quella dell’esempio
precedente. Il primo dei modi naturali è il seguente: l’applicazione I : v ↦→ v ′ da V in L 2 (R)
è lineare e isometrica se V e L 2 (R) sono muniti della norma appena definita e di quella usuale
rispettivamente. Dunque un completamento si ottiene chiudendo l’immagine di tale applicazione
in L 2 (R) . Si ottiene uno spazio di Hilbert. Ma, come nell’esempio precedente, si è restii a interpretare
l’applicazione I così costruita come un’identificazione.
Un analogo del precedente spazio W non completo è lo spazio di Sobolev H = H 1 (R) munito
della norma data da �v� = �v ′ �2 per ogni v ∈ H . Ancora è una successione di Cauchy non convergente
la successione {wn} costruita sopra. Conservando le notazioni introdotte, infatti, vediamo
che sn → 0 in L 2 (R) per il Teorema di Lebesgue. D’altra parte pn → 0 in L 2 (R) in quanto
�
R
1
n2 (ζ′ (x/n)) 2 ln 2 (1 + x 2 �
1
) dx =
{n