G. Gilardi, Analisi Funzionale - Dipartimento di Matematica

Capitolo 2
in W k,p (Ω) . In particolare, se |α| ≤ k , la derivata debole D α u è il limite in L p (Ω) della successione
{D α un} delle derivate classiche delle funzioni approssimanti un , il che, apparentemente,
sembra qualcosa di più del fatto che D α u sia semplicemente la derivata debole. Per questo motivo
le derivate D α u delle funzioni di u ∈ H k,p (Ω) vengono dette derivate forti.
Tuttavia la situazione è più semplice di quanto si possa pensare e ora ne spieghiamo il motivo.
Da un lato, supponendo che Ω sia limitato e verifichi certe condizioni di regolarità, è possibile
ricondursi localmente al caso del semispazio (precisamente, fissato x0 ∈ ∂Ω , è possibile cambiare il
sistema di coordinate in un intorno abbastanza piccolo di x0 in modo che, nelle nuove coordinate
y1, . . . , yd , Ω venga sostanzialmente descritto dalla condizione yd > 0 ) e regolarizzare u con una
procedura opportuna in modo da dimostrare che
C ∞ (Ω) è denso in W k,p (Ω) (ribadiamo, in ipotesi di regolarità su Ω ).
In tali condizioni, essendo C k,p (Ω) ⊇ C ∞ (Ω) , deduciamo che H k,p (Ω) = W k,p (Ω) . D’altro canto,
se Ω è un aperto qualunque, quella costruzione non può essere fatta e per un certo periodo di tempo
si è creduto comunemente che si potesse avere H k,p (Ω) �= W k,p (Ω) . Ciò fino al Teorema “H=W”
di Meyers-Serrin, che afferma l’uguaglianza H k,p (Ω) = W k,p (Ω) dei due spazi senza alcuna ipotesi
ulteriore su Ω . Come conseguenza, cade la distinzione fra derivate forti e deboli.
Il Teorema “H=W” può essere utilizzato per dare dimostrazioni semplici delle estensioni di
alcune formule classiche. Apriamo una parentesi su questo punto con un paio di esercizi e cogliamo
l’occasione per fare anche qualche osservazione.
3.20. Esercizio. Sia u ∈ W 1,p (Ω) reale, ove Ω un aperto limitato di R d e p ∈ [1, +∞) . Sia
inoltre G : R → R una funzione lipschitziana di classe C 1 e si consideri la funzione G ◦ u , che
denotiamo semplicemente con G(u) . Si dimostri che G(u) ∈ W 1,p (Ω) e che DiG(u) = G ′ (u)Diu
per i = 1, . . . , d , verificando che G(u) e G ′ (u)Diu appartengono a L p (Ω) e che la seconda funge
da derivata parziale (debole) della prima secondo la definizione stessa. Vale cioè la formula
DiG(u) = G ′ (u)Diu per i = 1, . . . , d (3.7)
ove naturalmente le derivate DiG(u) e Diu sono intese in senso debole. Si consiglia di usare
l’identità W 1,p (Ω) = H 1,p (Ω) e di approssimare u in W 1,p (Ω) con funzioni un ∈ C 1,p (Ω) . Si
controlli infine che le stesse conclusioni valgono se Ω non è limitato, purché G(0) = 0 .
3.21. Osservazione. Grazie a un risultato di Stampacchia, l’appartenenza G(u) ∈ W 1,p (Ω) e la
formula DiG(u) = G ′ (u)Diu valgono con G solo lipschitziana (e G(0) = 0 se Ω non è limitato)
nei due casi seguenti: i) u ∈ W 1,p
0 (Ω) e Ω è qualunque; ii) u ∈ W 1,p (Ω) e Ω è limitato
e regolare. Notiamo però che il termine G ′ (u)Diu va opportunamente interpretato, in quanto,
se r ∈ R è un punto in cui G non è differenziabile, il valore di G ′ (u) non risulta ben definito
nell’insieme Ωr = {x : u(x) = r} . Ebbene sempre Stampacchia ha dimostrato che Diu = 0
q.o. in Ωr (in realtà Diu = 0 q.o. in Ωr per ogni valore di r ). Allora il senso da attribuire
(q.o.) a G ′ (u)Diu è il seguente: il valore G ′ (u(x)) è arbitrario nei punti x tali che u(x) è un
punto di non differenziabilità di G (tanto tale valore verrà moltiplicato per zero). Ad esempio, se
u ∈ W 1,p (Ω) , anche u + appartiene a W 1,p (Ω) e si ha: Diu + = Diu q.o. nell’insieme in cui u > 0
e Diu + = 0 q.o. nell’insieme in cui u ≤ 0 . Anche se la funzione r ↦→ (r) + non è differenziabile
in 0 , si ha Diu + = 0 q.o. nell’insieme in cui u = 0 , insieme che in certi casi potrebbe essere molto
brutto, ad esempio di misura positiva ma senza punti interni.
3.22. Esercizio. Si dimostri che, se p, q, r ∈ [1, +∞) verificano 1/r = (1/p) + (1/q) e se
u ∈ W 1,p (Ω) e v ∈ W 1,q (Ω) , allora uv ∈ W 1,r (Ω) e vale la formula di Leibniz
Di(uv) = vDiu + uDiv per i = 1, . . . , d (3.8)
per le derivate deboli. Si consiglia ancora l’uso dell’identità W 1,s (Ω) = H 1,s (Ω) , ora con s = p, q .
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Gianni Gilardi